抽象函数问题觉题型及解法综述

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抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不露，但一般情况下，大多是以学过的常见函数为背景，将函数性质通过代数表述给出。抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计。高考对抽象函数的要求是考查对函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能。为了扩大读者的视野，特就抽象函数问题常见题型及解法分析如下。

一、函数的基本概念问题

1.抽象函数的定义域问题

例1 已知函数f（x?）的定义域是[1，2]，求f（x）的定义域。

解：由函数f（x?）的定义域是[l，2]，得l≤x≤2，则1≤x?≤4。

故函数f（x）的定义域是[1，4]。

评析：一般地，已知函数f（ψ（x））的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知f（ψ（x））中x的取值范围为A，据此求ψ（x）的值域问题。

例2 已知函数f（x）的定义域是[-1，2]，求函数的定义域。

解： 由函数f（x）的定义域是[-1，2]，得：在函数中，

解得

故函数的定义域是。

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x）的定义域是A，求函数f（ψ（x））的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。一般地，若函数f（x）的定义域是A，则x必须是A中的元素，而不能是A以外的元素，否则f（x）无意义。因此，如果f（xo）有意义，则必有所以这类问题实质上相当于已知ψ（x）的值域是A，据此求z的取值范围，即由ψ（x）∈A建立不等式，解出z的范围。例2和例1形式上正好相反。

2.抽象函数的求值问题

例3 已知定义域为R+的函数f（x），同时满足下列条件：①f（x）+f（y），求f（3）、f（9）的值。

解：取x=2，y=3，得f（6）=f（2）+f（3）。又，则

取x=y=3，得

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取x=2，y=3，这样便把已知条件与欲求的f（3）沟通了起来，这是解决此类问题的常用技巧。

3.抽象函数的值域问题

例4 已知函数f（x）满足：对任意x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x>O时，f（x）

（l）求证：f（x）是奇函数。

（2）证明：f（x）是减函数。

（3）当x∈[-3，3]时，求f（x）的值域。

解：（l）令x=y=0，得f（O）=f（O）+f（O）=>f（O）=O。

对任意的x∈R，有f（O）=f（x）十f（-x）=0=>f（-x）=-f（x）。

故f（x）是奇函数。

（2）设x1>X2。

由f（x+y）=f（x）+f（y）及（1），得

由，知。又x>0时，，则

故f（x）是减函数。

（3）由f（1）=-2及f（x+y）=f（x）+f（y），得：f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=2f（1）=-4，f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-6。结合（1）及（2）的结论，得：当x∈[-3，3]时，f（x）∈[f（3），f（-3）]=[-6，6]。

评析：由f（x+y）=f（x）+f（y）模型，联想到正比例函数f（x）=kx。若是选择题或填空题，还可以直接由待定系数法求出f（x）=-2x，进而求值域。

4.抽象函数的解析式问题

例5 设对满足x≠O、x≠1的所有实数x，函数f（x）满足，求f（x）的解析式。

解：

在（1）中，以代换x，得： 在（l）中，以代换x，得：

联立（1）、（2）和（3），可得：

评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题的关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

二、研究函数的性质问题

1.抽象函数的单调性问题

例6 设f（x）定义在实数集上，当x>o时，f（x）>1，且对任意实数x、y，有f（x+y）=f（x）f（y），求证：f（x）在R上单调递增。

证明：在f（z+y）=f（x）f（y）中，取x=y=O，得f（0）=f2（O），则f（O）=O或f（0）=1。

若f（O）=0，在f（-x+y）=f（x）f（y）中，令x>0，y=0，则f（x）=O，与f（x）>1矛盾，故f（0）≠O。

故f（O）=1。

当x>0时，f（z）>1>O。

当x0，则f（-x）>1>0。由f（x）f（-x）=f（0）=1，得

当x=0时，f（x）=1>O。

故对任意x∈R，f（x）>0。

设，则

故f（x）在R上单调递增。

例7 已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m、n，均有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且，当时，有f（x）>0，求证：f（x）单调递增。

证明：设，则则

故函数f（x）单调递增。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

2.抽象函数的奇偶性问题

例8 定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数a、b，都有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）成立，且f（0）≠O。试判断f（x）的奇偶性。

解：令a=b=O，得f（O）+f（0）=2f（O）.f（0），即2f（O）・[f（0）-1]=0。又f（O）≠O，则f（O）=1。

令a=0，b=x，得f（x）+f（-x）=2f（O）.f（x）。又f（0）=1，则f（-x）=f（x）。

故f（x）是R上的偶函数。

评析：把握奇偶性的定义，即首先考察定义域是否关于原点对称，再判定f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）是否成立。解决这类问题，可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论。由三角函数的和差公式可知cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，观察题中条件，我们可判断本题是以余弦函数f（x）-cos x为模型设计的问题。

3.抽象函数的周期性问题

例9 函数f（x）的定义域为全体实数，对任意实数a，b，有f（a+b）+f（a-6）=2f（a）.f（b），且存在C>o，使得，求证：f（x）是周期函数。

思路分析：因为cos（a+b）+cos（a-b）=2cosacosb，且，因而得出函数f（x）的模型函数为y=cos x。由y=cos x的周期为2π，可猜想2C为f（x）的一个周期。要证明2C为f（x）的一个周期，只需证明f（x+2C）=f（x）。

证明：令，代人中，得

故f（x）是周期函数，且2C是其一个周期。

例10 若对于常数m和任意实数x，等式成立，求证：f（x）是周期函数。

思路分析：，因而得出函数f（x）的模型函数为y=tan x。由于y=tan x的周期是π，恰为的4倍，因而自然猜想4m是函数f（x）的一个周期。要证明4m为函数f（x）的一个周期，只需证明f（x+4m）=f（x）。

证明：将已知式中的x换成x+m，可得：

将中的x+2m换成x+4m，可得：

故f（x）是周期函数，且4m是其一个周期。

评析：如果没有余弦函数或正切函数作为模型，就很难想到2C或4m是所求函数的一个周期，解题思路是比较难找的。由此可见，根据已知条件中的对应法则的结构特征，类比所学过的一些函数，寻求或构造恰当的模型函数，可以为思考与解题指明方向，这是处理抽象函数问题的一种重要策略。

4.抽象函数的对称性问题

例11 已知函数f（x）满足：对一切实数x，都有f（2+x）=f（2-x）。如果方程f（x）=O恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。

解：由f（2+x）=f（2-x），知直线x=2是函数f（x）的图像的一条对称轴。

f（x）=O有4个不同的实根，现从大到小依次设为x1，x2，x3，x4则与关于直线x=2对称，x2与x3关于直线x=2对称，故x1+x4=x2+x3=2×2=4。

x1+x2+x3+x4=8。

评析：一般地，若函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），则直线x=a是函数f（x）的图像的一条对称轴。利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。

三、抽象函数中的综合问题

例12 定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）f（n），且当x>0时，0

（l）判断f（x）的单调性。

（2）设，若，试确定a的取值范围。

解：（l）在f（m+n）=f（m）f（n）中，令m=l，n=0，得f（1）=f（1）・f（0）。又f（1）≠0.则f（0）=1。

当x>0时，O

当x0，则O

当x=0时，f（x）=1>0。

故对任意x∈R，均有f（x）>O。

设，则，故

故函数f（x）在R上单调递减。

（2）由于函数f（x）在R上单调递减，所以等价于：

由于，根据函数f（x）的单调性，所以

由，得直线与圆面无公共点，则

解得-1≤a≤1。

评析：要讨论函数的单调性，必然涉及两个问题，一是fO）的取值问题，二是结论f（x）>O的证明，完成这些需要在抽象函数式中进行，由特殊到一般的解题思想和联想类比思维都有助于问题的思考和解决。解决第二问时，要根据第一问的结论，消去函数符号。

例13 已知定义在R上的函数f（x）满足：①值域为（-l，1），且当x>0时，-1

（l）求.f（0）的值。

（2）判定函数f（x）的单调性，并给出证明。

解：（1）在，得整理得f（0）.

由于函数f（x）的值域为（-l，1），所以-l≠O，则f（O）=0。

（2）在中，令-x，注意到f（O）=0，得f（x）+f（-x）=0，则函数f（x）为奇函数。

因此，即f（x）-f（y）=f（x―y）[1-f（x）f（y）]。

设x>y，则x-y>0，故f（x-y）

由于函数f（x）的值域为（-1，1），所以-l

故厂（x）-f（y）=f（x―y）[1一f（x）f（y）]

故函数f（x）在R上单调递减。

评析：要讨论函数的单调性，必然涉及f（x）-f（y），于是证明函数的奇偶性成为解题的第一个关键性步骤。

例14 函数f（x）的定义域为D：{x|x≠0}，且满足：对任意，有

（l）求f（l）的值。

（2）判断f（x）的奇偶性并证明。

（3）如果f（4）=1，f（3x+l）+f（2x-6）≤3，且f（x）在（O，+∞）上单调递增，求x的取值范围。

解：（l）令，得f（1×1）=f（1）+f（l），则f（1）=0。

（2）令，得f（（-l）×（-1））=f（-1）+f（-l），则f（-l）=0。

令，得f（-x）=f（-l）+f（x），则f（-x）=f（x）。

故f（x）为偶函数。

（3）f（4×4）=f（4）+f（4）=2，f（16×4）=f（16）+f（4） =3。

f（3x+l）+f（2x-6）≤3等价于：

f（（3x+l）（2x-6））≤f（64）。

①

由f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）为偶函数，得①式等价于：

或

由（*）得则3

由（**）得则

故x的取值范围是：

评析：以抽象函数为模型，考查函数的概念、函数的奇偶性和单调性等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力。认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件找到解题的突破口是关键。