实系数二次方程实根分布问题中参数范围的求法
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确定实系数二次方程实根分布问题中参数的取值范围是高中数学的重点和难点，也是历年高考考查的热点，它涉及的数学思想方法较多，综合性较强。解决此类问题的主要思路是：从对应函数的开口方向、特殊点的函数值的正负、对称轴的位置、判别式与0的关系等几个角度综合考虑后构建充要条件，从而求出参数的取值范围。现结合实例介绍几种题型及其求解策略，供大家参考。
为叙述方便，现约定：当实系数二次方程ax?+bx+c=0（a≠O）有两个实根时，这两个实根分别为x1、x2。
类型一：方程的两个实根均小于常数k
此种类型的求解策略是：令f（X）=ax?+bx+
例1 已知关于x的方程（1+a）X?-3ax+4a=O的所有根均小于1，求实数a的取值范围。
解：若l+a=O，即a=-l，则方程（l+a）x?-3ar+4a=0即为3x-4 =0，其根为，不满足题意，所以a≠-1。
令
由题意可知：
解得。
因此实数a的取值范围为。
变式：已知|a|=1，且方程ax?-2x-b+5=0有两个负实数根，求实数b的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得5
评析：上述变式相当于方程的两个实根均小于0，因此构建充要条件的方式不变。
类型二：方程的两个实根均大于常数k
此种类型的求解策略是：令c，则
例2 已知一元二次方程mx?-（m+1）x+3=O的两个实根都大于-1，求实数m的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得m
变式：已知一元二次方程（m-l）X?+2（m+l）x-m=0有两个正根，求实数m的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得O
评析：若从，的角度解决例2，运算量明显较大。
类型三：方程的一个实根大于常数k，另一个实根小于k
此种类型的求解策略是：令
侧了若关于x的方程O有两个不等的实根x1、x2，且X1
解：令
由题意可知：
解得
因此实数a的取值范围是。
变式：已知一元二次方程（m-l）=O有一个正根和一个负根，求实数m的取值范围。
解：令厂
由题意可知：
解得
因此实数m的取值范围为
评析：变式中一元二次方程有一个正根和一个负根，在本质上仍然是一个实根大于常数k，另一个小于k，只不过常数k=0。
类型四：方程在区间（k1，k2）内有且仅有一个根
此种类型的求解策略是：令
例4 已知关于z的方程在区间（-2，0）内有且仅有一个实根，求实数a的取值范围。
解：当a一0时，原方程化为x-3=O，其根为x=3，不满足题意，则a≠O，原方程为一元二次方程。
①若x1=-2，代人原方程可求得a=1，易知方程的另一个根为x2=1，显然不满足题意。
②若x1=O，代入原方程可求得a=3，易知方程的另一个根为，显然满足题意。
③若-2与0均不是方程的根，令，根据题意，一定有f（-2）f（0）
综上所述，实数a的取值范围为（1，3]。
变式：已知在区间（-3，o）内有且仅有一个数值满足方程，求实数m的取值范围。
解：令
（l）由f（-3）f（0）
（2）由f（-3）=0，解得，所以满足题意。
（3）由f（0）=0，解得m=-3。又，所以m=-3不满足题意。
（4）由=0，解得m=-1或
①若m=-l，解得x=-2∈（-3，0）.所以m=-1满足题意。
②若，解得x=3在（-3，0），所以，不满足题意。
综上所述，满足题意的实数m的取值范罔为
评析：从上面两个题目的解析过程可以看出：“方程在某区间内有且仅有一个实根”与“在某区间内有且仅有一个数值满足方程”两种说法存在着本质区别，那就是是否需要把=0考虑进去（一元二次方程根的情况有三种：有两个相等实根，有两个不等实根，没有实根，所以前一种说法中不包括=O这一情况）。另外，例4在检验a=l或a=3时采用的方法与其变式在检验时采用的方法均可供对方使用。
类型五：方程在区间（k1，k2）内有两个根
此种类型的求解策略是：令
例5 已知方程1=0的两个实根都在区间（-l，1）内，求实数，m的取值范围。
解：令
由题意可知
解得 因此实数m的取值范围为
变式1：设关于x的方程-5）=O在区间[0，2]内有解，求实数k的取值范围。
解：令，则原问题等价于关于t的方程在区间[1，9]内有解。令。显然k≠0。
函数f（t）的图像的对称轴为直线t=
因为，所以方程在区间[1，9]内有解
解得
所以实数k的取值范围是。
变式2：设关于x的方程0在区间（0，l）内有解，求实数k的取值范围。
解：令，则原问题等价于关于￡的方程在区间（1，2）内有解。。结合“双勾函数的图像，可知：当t∈（1，2）时，函数的值域为（4，5），所以4
评析：例5及其两个变式实质上代表了“解在区间内”与“在区间内有解”这两类极易混淆的问题，而两个变式的区别是前者对称轴确定，后者对称轴待定，当然变式1也可以借鉴变式2的解法，在此不作赘述，请读者自己尝试。
类型六：两根分别在区间（-∞，k1）与（k2，+∞）（k1
此种类型的求解策略是：令c，则切忌把充要条件写成因为具有两层含义：一是f（k1）与f（k2）同号，二是f（k1）与f（k2）均与a异号，综合起来就是区间（k1，k2）是以两根为端点的区间的子区间，但f（k1）f（k2）>O仅仅说明f（k1）与f（k2）同号。
例6 已知一元二次方程（m+2）=O的一个根小于0，另一个根大于1，求实数m的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得m0，因此实数m的取值范围为{m|mO}。
评析：若把条件改为“方程的两个实根在区间[O，1]之外”，则解答时应综合考虑类型一、类型二、类型六这三种情况。
变式1：已知一元二次方程的一个根在（-l，1）内，另一个根大于3，求实数m的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得
因此实数m的取值范围为。
变式2：已知方程有一个根小于2，其余三个根大于-l，求实数a的取值范围。
解：令
若x=0是原方程的一个根，则可推得a=0，显然不合题意，所以原方程有四个非零解，同时使得一元二次方程f（t）=0必有两个正根，由此进一步得知原方程的四个根是两对相反数。又原方程有一个根小于2，则其必有一根大于2，故方程，f（t）=O必有一根大于4。
由于原方程的另外两根均大于-l，且这两个根互为相反数，所以这两根分别在（-1，O）与（O，1）内，故方程f（t）=0的另外一根在区间（O，1）内。
因此可列出相应的充要条件
解得
因此实数“的取值范围为。
评析：对于一元二次方程，令，若该方程的一个根在区间内，另一个根大于，结合类型三与类型四，可列出充要条件若该方程的一个根小于k1，另一个根在区间内，结合类型三与类型四，可列出充要条件若该方程的一个根在区间（k1，k2）内，另一个根大于k2，结合类型四，可列出充要条件若该方程的一个根小于k1另一个根在区间（k1，k2）内，结合类型四，可列出充要条件若该方程的一个根在区间内，另一个根在区间（k3，k4）内（k2
切忌列出厂若该方程的一个根在区间（k1，k2）内，另一个根在区间（k2，k3）内，结合类型三与类型四，可列出充要条件切忌列 出，此外，要慎重地列出判别式与O的关系，有时这个并非是必须列出的对象。