关于Petrovic不等式的一点思考
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关键词： Petrovic不等式 泰勒展开式 推广
不等式在数学中占有非常重要的地位，在数学中有许多经典的不等式，本文主要对Petrovic不等式进行了推广。
1916年，M.Petrovic给出一个三角不等式如下：［１］
设ABC的三边长分别为a、b、c，则
≤＜（1）
当且仅当a=b=c时等号成立。
文献［2］应用数学归纳法将不等式（1）推广为：
设ABC的三边长分别为a、b、c，对于正整数n（n＞1）有
≤＜（2）
当且仅当a=b=c时等号成立。
很自然想到当n（n＞1）为实数时是否有类似的结论，答案是肯定的。
定理1：设ABC的三边长分别为a、b、c，对于实数r（r＞1）有
≤＜（3）
当且仅当a=b=c时等号成立。
引理1：（幂平均不等式）若x＞0，i=1，…，n，α＜β，则
（）≤（）
当且仅当x=x=…=x时等号成立。
证明：因为f（r）=（x），所以两边取导数得
lnf（r）=ln（x），
故=-ln（x）+
f（r）′=［r-ln（）］令=g（r）
而g（r）′=+r-
=r
由于（a）（b）≥（ab），
因此当r＞0时，g（r）′＞0，g（r）单调增；当r＜0时，g（r）′＜0，g（r）单调减。所以g（r）在r=0处取最小值。
但g（0）=0，故g（r）≥0，从而f（r）′≥0，此表明f（r）是r的增函数。
所以当α＜β，由f（r）为增函数知
（）≤（）
易知当且仅当x=x=…=x时等号成立，从而引理成立。
定理的证明如下：
设x=，x=，x=，
则x＞0，i=1，2，3，且x+x+x=1。
由r＞1，应用引理1得
=≤（）
所以≤，即≤x+x+x，当且仅当x=x=x时等号成立。也就是≤，当且仅当a=b=c时等号成立，从而（3）的左边不等式得证。
下证右边不等式。如r为正整数，则由（2）（3）知右边不等式成立。
如r不为正整数，则存在自然数n及δ（0＜δ＜1），使得r=n+δ。
由于a，b，c为ABC三边，则有
x＜x+x，x＜x+x，x＜x+x
x＜，x＜，x＜
所以x＜，x＜，x＜。
所以x＜，x＜，x＜。
则x+x+x=xx+xx+xx＜（x+x+x）
由（2）知当n≥1时，x+x+x≤
x+x+x＜（x+x+x）≤ ==
综上所述，定理得证。
参考文献：
［1］［荷］O•Bottema等著.单尊译.几何不等式［M］.北京：北京大学出版社，1991：9.
［2］张树生.一个不等式的推广［J］.中等数学，2003，（5）：21-22.
［3］D.S.mitrovic著.张小萍译.解析不等式［M］.科技出版社，1987.
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