浅谈凸函数在不等式中的应用

开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇浅谈凸函数在不等式中的应用范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！

【摘要】凸函数在数学规划、变分不等式等领域中具有十分重要的作用。由凸函数理论发展起来的凸分析，现已发展成为一门独立的数学分支。

【关键词】凸函数 jensen不等式

凸函数在不等式的证明中应用领域非常广泛，利用凸函数的性质证明有关不等式，可以使证明过程复杂且难度较大的问题比较容易。

一、凸函数的定义

定义1：设函数f（x）在区间[α，b]上有定义，若对[α，b]上任意两点x1，x2和正数λ∈（0，1），总有f[λx1+（1-λ）x2]≤λf（x1）+（1-λ）f（x2）成立，则称f（x）为区间[α，b]上的凸函数;若上式仅不等号成立，则称f（x）为区间[α，b]上的严格凸函数。

定义2：设f（x）在区间I上有定义，f（x）在I上成为凸函数当且仅当对 x1，x2∈I，有f（x1+x2/2）≤■。

定义3：设f（x）在区间I上有定义，f（x）在I上成为凸函数当且仅当对 x1，x2，…，xn∈I，有：f■≤■■f（xi）。

二、凸函数的应用

在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙。证明不等式就是凸函数的一个应用领域但是关键是构造能够解决问题的凸函数。

三、利用凸函数等价证明不等式

凸函数在不等式证明中的应用主要是通过jensen不等式来体现的，因为每个凸函数都有一个jensen不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用。下面我们通过例子来说明。

例1 求证：对任意实数α，b，有e■≤■（eα+eb）。

证明：设

f（x）=ex

则f"（x）≥0，x∈（-∞，+∞）

故f（x）=ex为（-∞，+∞）上的凸函数 ，从而对

x1=α，x2=b，λ=■

由定义有

f■x1+（1-■）x2≤■f（x1）+（1-■）f（x2）

即

e■≤■（eα+eb）

例2 若f（x）为（α，b）内的凸函数，xi∈α，b，i=1，2，…，n求证：f■≤■■f（xi）。

证明：

对n=2，x=■，不等式是显然的，设对n-1不等式成立，

则因为

■=■・■+■xn

这里

λ=■，■∈（α，b），xn∈（α，b）

由定义

f■≤■f■+■f（xn）=■■f（xi）

例3 若θi∈（0，π），i=1，2，…，n，则sin■≥■。

由于

f"（θ1）=sec2θi 0

则f（x）为（0，π）上的严格凸函数，所以，由例3的不等式有

-lnsin■■θi≤-■■ln（sinθi）

即

ln（sin■）≥■ln（sinθ1sinθ2…sinθn）。

由

e 1

得

sin■≥■

上式等号仅在

θ1=θ2=…=θn

时成立。

四、结束语

综上所述，在不等式的证明中，巧妙的应用凸函数的定义及其性质，就可使解决一些复杂的不等式迎刃而解。

参考文献：

[1]狄雷.凸函数的性质及其应用.科教文汇（下旬刊），2009，（2）.

[2]方企勤.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1984.

[3]尚亚东.凸函数及其在不等式证明中的应用.广州大学学报（自然科学版），2005，（6）.

[4]Hejingeerma.On the symmetry function of a convex set.Rutgers State Univ，Rutgers Ctr Operat Res，Piscataway， NJ 08854 USA.1988.