从一道数列问题的分析谈析题
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摘 要：析题是中学数学教学较为忽视的一环，如今数学教学往往重视的是试题的解法、学生对常规方法的理解和记忆、运用，教师对试题为什么这么考？考题的核心是否是热点？优秀的考题反思、挖掘是否到位？这些是教师教学需要进一步挖掘和分析的，本文从一道数列问题出发，管窥教师对析题的一些实践与想法.
关键词：数列；析题；数学；解题教学
解题教学是数学教学的核心，在解题教学之中教师往往对试题做解法上深入的研究、对错误情况做浅要的分析，这些都是常规的研究工作. 近年来，对试题的进一步研究致使教师在数学问题的研究上必须更细致、更深入，笔者称之为析题.何为析题呢？笔者翻阅相关资料，大都是这么一种界定.
析题：从专业化的角度来说，即专业人士对问题进行的一种专业视角下的分析，其包含问题编制背景的分析、知识点整合角度的分析、试题考点的分析、试题面向学生层面的分析、试题变化可能性考点的分析等等，简而言之即对试题的一种全方位的分析.对于析题，笔者认为还要关注下面的几个要素：其一，分析知识的评价，这是断定试题有无出现偏差的第一要点；其二，教学导向功能的分析，好的试题做析题必然要分析其是否适应高考？是否具备时代性，有一定的训练价值等；其三，类似变式问题的整合，析题是为了更高效的教学，教师应准备类似的问题，凸显本题延伸所能带来的解题效应.
案例：已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn>1，且6Sn=（an+1）・（an+2），n∈N. （1）求{an}的通项公式；（2）设数列{bn}满足an（2bn-1）=1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1>log2（an+3），n∈N.
习题评价
1. 考查知识的评价
本题考查等差数列的定义、通项公式an与前n项和公式Sn的关系（an=S1（n-1），
Sn-Sn-1（n≥2））及数列知识的整体性应用等基础知识，并将这些知识作为基本载体，考查学生解决问题时的推理论证能力、运算求解能力，考查整体性思想运用能力、函数与方程思想等. 该题凸显对等差数列定义及数列是特殊函数的本质的考查，并通过与函数知识的交汇，来实现对学生综合运用学科知识分析问题和解决问题的能力的考查. 该题的主要亮点有如下几点：（1）很好地实现了数列、函数与不等式等知识的自然交汇，问题的设置注重函数思想的渗透，强调抽象概括；（2）问题的设置基本明确，旨在向能力立意靠近，既有基本知识如通项公式的考查，也有函数与方程思想的渗透，这些都是考查的重点和热点.
2. 教学导向功能
试题为数列综合性问题，其设计符合江苏省考纲，既立足基础、关注过程，也突出思想、把握数列问题研究的本质等教与学的导向性. 对于这样的问题，教师要引导学生从结果教学向过程教学进行转变.
教学意图
1. 课堂情境
本题作为高三第二轮“数列综合应用”专题复习课的例题.
2. 学情预设
通过之前的作业反馈情况和课堂表现，结合平时对学生的观察，了解学生的现有发展区的基本特征为：
（1）学生已学习了等差数列的定义，能较好地运用a=S1（n=1），
Sn-Sn-1（n≥2） 求通项公式，以及能根据通项的特征选择合适的求和方法（公式法、分组求和法、错位相减法、倒序相加法、裂项相消法等），并对数列是一种特殊的函数有一定程度的理解，能较好地利用函数的思想去解决数列问题.
（2）本题的研究对象以等差数列的定义、通项公式an与前n项和公式Sn的关系这些基本知识点为载体，情境较新，综合性较强，学生在利用求和公式时，如果习惯性地去套用公式，而不从函数的单调性去求数列的最值，就很难完成对第（2）小题的解答，对学生化归思想、运算求解能力要求较高. 这对学生而言存在相当大的挑战，为此，就解本题而言，对数列的特殊函数性这个本质的理解确实是至关重要的.
3. 教学目标
基于课程标准的要求、学生情况的实际，遵循教学目标的“三维”理念，确定教学目标为：经历“数列通项公式与前n项和公式的关系”的过程，理解数列是一种特殊函数的本质，提高运用函数的思想探究数列的单调性与最值问题的能力，进一步理清解决数列与函数、不等式、方程等综合问题的一般规律.
教学流程
以波利亚的“怎样解题表”为指导展示析题过程：
1. 弄清题意
已知哪些条件？要解决的问题是什么？如何用数学语言来表述？
第（1）问：正项数列{an}；前n项和Sn满足Sn>1，6Sn=（an+1）（an+2），n∈N，求{an}的通项公式；通过合理利用关系an=S1（n=1），
Sn-Sn-1（n≥2） 求{an}的通项公式.
第（2）问：数列{bn}满足an（2bn-1）=1，Tn为{bn}的前n项和；求证：3Tn+1>log2（an+3），n∈N；先求出数列{bn}的通项公式bn，然后再利用对数的运算性质求得Tn，即证明真数的大小，最后利用函数的思想确定数列的单调性及最值.
2. 拟定计划
问题，思路分析.
第（1）问：已知前n项和Sn满足Sn>1，数列的首项意味着什么？由Sn>1可知数列的首项a1>1.
6Sn=（an+1）（an+2），n∈N. 能否利用方程的思想求得{an}的通项公式？如何运算才更合理？当n≥2时，由6Sn=（an+1）・（an+2）=a+3an+2及6Sn-1=（an-1+1）（an-1+2）=a+ 3an-1+2，两式相减化简得：an-an-1=3，即说明数列{an}是一个等差数列.
第（2）问：已知an（2bn-1）=1，如何求数列{bn}的通项公式？根据an（2bn-1）=1，可知：bn=log2.
通常说“通项的特征定求和的方法”，那么该题求{bn}的前n项和Tn能用公式法吗？还是要利用函数的性质来求？利用对数的性质：Tn=log2
…
. 当正面证明遇到障碍时，能否逆向推理来观察要证明的是什么？观察：3Tn+1>log2（an+3），n∈N，其实只需证明3log2
…
+1>log2（3n+2），即等价证明
…
・2>3n+2.
利用分析法的思维把原命题的证明等价转化成证
…
・2>3n+2，又应该利用什么思想来证明这个不等式呢？数列的单调性又该如何说明呢？即等价证明>1即令f（n）=，即只需说明{f（n）}是一个单调递增数列并且最小值比1大即可，由于=>1，即f（1）min=>1.
3. 实施计划
依据拟定的计划实施解题过程，检验每个步骤是否正确，并穿插易错点的讲解与分析.
4. 回顾反思
本题是以等差数列的定义、通项公式an与前n项和公式Sn的关系及数列的综合应用等基础知识为载体，考查学生运用函数的思想来解决数列的单调性与最值问题. 之前学生对数列求和有一定的理解，而本题的设计跳出了学生的常规思维，对学生提出很大的挑战，同时该题对运算能力的要求及逻辑推理证明也是有很高的要求. 本题的价值在于，能较好地切中学生原有的知识经验，打破学生的思维定式，贴近学生的“最近发展区”. 刺激学生把原有的知识经验作为新知识的生长点，形成新的知识经验，进而体会数列它不是一块独立的知识模块，它与其他的知识可以很好地交汇在一起，唯有理解数列的本质，才能解决以不同形式呈现的题型.
基于上述的反思，结合“用题去教”的理念，发现用函数的思想去理解数列的考题还真不少.
训练1：函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{an}满足：an=f（0）+f
+f
+…+f
+f（1），则an=__________.
训练2：设函数f（x）=xm+ax的导数为f′（x）=2x+1，则数列
（n∈N*）的前n项和为__________.
训练3：已知数列{an}的通项公式an=n2+λn，如果数列{an}为单调递增数列，则实数λ的取值范围是__________.
训练4：已知数列{an}的前n项和为Sn，点
n，
在直线y=x+上. 数列{bn}满足bn+2-2bn+1+bn=0（n∈N*），b3=11，且其前9项和为153. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn>对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值.
总之，析题是一种专业化成长下的详细的试题分析. 教师自身需要养成对典型例题的深思和分析，这样的研究方式是有助于教师自身素养的提高. 与学生而言，析题带来的最大的变化是在教师弄清了试题的来龙去脉的基础上，在分析、引导和整合过程中，得心应手. 例如：如何弄清题设与结论间的内在联系，较快地找到解题的突破口？解题所用的方法是否合理简单？过程是否准确，合乎逻辑？解题方法是否有推广的价值？适当改变题目的条件或结论，将会出现怎样的变化？有否规律存在等等. 这样做能使我们领悟蕴涵在问题的提出、完善和深化的全过程，贯穿在分析问题和解决问题中的数学思想方法，提高综合运用知识的能力.