数形结合思想在高中数学教学中的应用

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主要说明数形结合思想是高中数学的重要思想之一，数形结合方法是重要的一种解题方法。主要介绍数形结合思想在解决函数、方程、不等式、解析几何等问题的应用。

数形结合思想函数不等式方程解析几何数形结合是数学的本质特征，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合是根据数的结构特征，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的特征和规律，解决数的问题，或将图形信息部分或全部转化成代数信息，削弱或清除形的推理部分，使要解决的形的问题转化为数量关系的讨论。

数形结合思想是采用了代数方法和几何方法的最好方面：几何图形形象直观，便于理解；代数方法的一般性，解题过程的程序化，可操作性强，数形结合的思想方法是学好中学数学的重要思想方法之一。因此，研究数形结合思想是相当必要的。数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想可以解决以下问题。

一、数形结合思想解决函数值域

例1.求函数f（x）=sinxcosx-2（0≤x≤π） 的值域

分析：观察函数的形式，可将其转化成求斜率范围问题。

如图所示，设动点P（cosx，sinx），定点A（2，0），则直线PA的斜率为所求。即-3，0

小结：形如f（x）=ax2+bcx2+d（a，c 均不为零）、f（x）=amx+bcmx+d （a，c均不为零） 等函数求值域问题均可。

二、数形结合思想解决方程问题

三、数形结合思想解决不等式问题

例3.设f（x）=x2–2ax+2，当x∈[–1，+∞）时，f（x）>a恒成立，求a的取值范围.

解法一：由f（x）>a在x∈[–1，+∞）上恒成立x2–2ax+2–a>0在x∈[–1，+∞）上恒成立。因此考查函数g（x）=x2–2ax+2–a的图象在x∈[–1，+∞）时位于x轴上方.如图两种情况：

不等式的成立条件是：（1）Δ=4a2–4（2–a）

（2）Δ≥0

a

g（-1）>0 a∈（–3，–2]，综上所述a∈（–3，1）.

四、数形结合思想解决比较大小问题

例4.设方程2x+x=0的实根为a，方程log2x+x=0的实根为b，方程log2x-1x=0的实根为c，则（）

A、a

C、b

分析：将函数f（x）=2x，f（x）=log2x，f（x）=1x，f（x）=-x的图像画在同一坐标系中，即得A

五、数形结合思想解决证明问题

例5.已知acosα+bsinα=c， acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α–β≠kπ， k∈Z）求证：cos2α-β2=c2a2+b2.

分析：解决此题的关键在于发现条件的几何意义，由条件式的结构联想到直线方程，进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上，从而才能巧用数形结合方法完成解题.

证明：在平面直角坐标系中，点A（cosα，sinα）与点B（cosβ，sinβ）是直线l：ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.

从而：|AB|2=（cosα–cosβ）2+（sinα–sinβ）2

=2–2cos（α–β）

又单位圆的圆心到直线l的距离d=|c|a2+b2由平面几何知识知|OA|2–（12|AB|）2=d2即

1-2-2cos（α-β）4=d2=c2a2+b

cos2α-β2=c2a2+b2.

总之，在教学过程中对“数”与“形”关系的揭示与转化，有利于启发学生深刻认识数学问题的实质——数学知识的精髓，才能让学生能灵活运用数形结合思想解决数学问题，从而提升能力。

参考文献：

[1]学习方法报，语数教研周刊.2011，（8）.

[2]数学学习与研究，教研版.2009，（8）.