认真研读课程标准强化问题解决教学

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【摘要】问题解决既是数学课程目标，也是一种数学能力，还是一个学生发现和探究的过程.加强问题解决教学意义重大.数学教学必须培养学生发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力.引导学生积极进行数学探究活动，加强应用意识（能力）培养，大力开展综合实践活动以及积极开展数学建模活动等是进行问题解决教学的根本途径.

【关键词】问题解决；数学思考；探究发现；综合实践活动

强化问题解决是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）提出的课程目标，也是提高学生数学素养的重要教学策略之一.笔者在本文首先谈谈对“问题解决”的再认识，然后就问题解决教学的问题提出自己的一些想法.

1正确认识问题解决活动

《课标（2011年版）》对于“问题解决”目标是这样阐述的[1]：

（1）初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.

（2）获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识.

（3）学会与他人合作交流.

（4）初步形成评价与反思的意识.

这也是我们实施“问题解决”教学，要求学生应该达到的目标[2]：

由此可见，在数学教学中，加强问题解决能力的培养，教会学生学会问题解决已经成为义务教育的数学课程目标，事实上，问题解决早已成为国际数学教育的核心内容[3].为了培养学生的问题解决能力，我们有必要对问题解决的有关认识作一介绍：

1990年4月美国数学教师联合会（NCTM）作了一个《关于行动的议程》报告，在这个报告中对问题解决的含义作了三点阐述[4]：

第一，问题解决包括将数学应用于现实世界，包括为现时和将来出现的科学理论与实际服务，也包括拓广数学科学本身前沿的问题；

第二，问题解决从本质上说是一种创造性的活动；

第三，问题解决能力的发展，其基础是虚心、好奇和探索的态度，是进行试验和猜测的意向；等等.

许多数学家、数学教育学家对问题解决的含义进行了积极的探讨，形成了多种解释，比较一致的观点主要有：

（1）问题解决是心理活动.问题解决指的是人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动.

（2）问题解决是一个过程.问题解决是把前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中的过程.

（3）问题解决是一种教学形式.应将“问题解决”的活动形式看作教和学的形式，不应将其看成课程所附加的东西.

（4）问题解决是目的.学习数学的主要目的在于问题解决.

（5）问题解决是一种数学能力.在1982年考克罗夫特（Cockeroft）报告中提出：“那种把数学用之各种情况的能力，叫做问题解决.”[4]

总之，问题解决不仅仅是数学课程的目标，而且还是一个发现的过程、探究的过程和积累数学活动经验的过程，也是学生实现“再创造”的过程.学生借此过程可以真正认识、感悟和理解数学.

问题解决中的“问题”不同于一般的数学题，一般指对人具有智力挑战特征的、没有现成的方法、程序或算法可以直接套用的问题，需要综合地运用多种数学知识和技能方能解决.罗增儒教授认为，这样的“问题”具有如下的一些基本特征[5]：

（1）接受性：学生有解决它的知识基础和能力基础，题目有激发解题心向的因素（比如趣味性和魅力）.

（2）障碍性：“对人具有智力挑战特征”决定了学生不能直接看出它的解法和答案，需要经过数学思考，综合地运用各种数学知识和方法才能得以解决.

（3）探究性：没有现成的直接方法、程序或算法，学生不能简单的模仿现成的公式或沿用常规的解题套路，需要进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等探究活动才能解决.

（4）情境性：往往不是简单的“已知―求解”模式，而常常是o出一种实际情境，通过数学化的手段，建立相关的数学模型来解决.其中隐含的数学问题要学生自己去提出、求解并作出解释.

（5）开放性：条件可以多余，答案不必唯一（也可以没有终极的答案），解决方法多样，各种水平的学生都有机会由浅入深地作出一定程度的回答，当然不一定都能给出最终的解答.

具体针对某一个数学题目来说，它不一定同时具备以上这些特征，但只要能具备其中的两个以上，就是一个很好的问题.

要解决这样的问题，要求学生能够从给出的问题情境中通过分析，获取有关的信息，利用这些信息建立起数学模型，并能够灵活运用有关知识加以解决.

实施问题解决教学，不仅能让学生学会数学思考，而且还能让学生积累思维活动的经验，并且还能培养学生的应用意识和实践能力.因此，数学教学中加强问题解决教学，反映了世界各国数学教育教学改革的方向，也是提高我国国民素质的必由之路.

2强化问题解决教学的宏观策略

从前面的论述可以看出，数学教学必须重视问题解决教学，如何引导学生进行问题解决活动，这是广大教师一直在思考，并且努力探索的问题.《课标（2011年版）》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”[1]这一论述向我们提出了数学教学的方式问题，当然也指明了实施问题解决教学的策略、方法和途径.笔者认为以下三条途径是根本的宏观策略：

2.1引导学生进行探究发现活动

学生学习过程是一个不断发现新问题、提出新问题，并且解决新问题的过程.这在本质上就是一个问题解决的过程.教学中，对于一些规律性的内容，在不违背数学知识逻辑关系的基础上，我们要根据学生的数学学习认知规律、知识背景和活动经验，合理的设计问题系列，引导学生围绕这些问题进行观察、实验、猜测、分析、综合、推理、判断等思维活动，在活动的过程中发现、归纳得到有关的规律、法则等.

案例1“二次函数图象与一元二次方程的关系”的探究过程.

搞清楚二次函数y=ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系，可帮助学生理解它们之间的关联，感受数学的整体性，进一步感悟数形结合思想在数学学习中的作用.为了让学生自己探究到这个关系，我们可用下面的问题引导学生思考与探究：

（1）比较二次函数y=x2-2x-3的表达式与一元二次方程x2-2x-3=0，你能说出二者之间有什么联系吗？

（2）一元二次方程x2-2x-3=0有没有实根？如果有实根，它的实根是什么？

（3）观察二次函数y=x2-2x-3的图象（图1）.图象与x轴有公共点吗？如果有，有几个公共点？公共点的坐标分别是什么？

图1图2（4）当x取何值时，函数y=x2-2x-3的值是0？

（5）一元二次方程x2-2x-3=0的实根和二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点的横坐标有什么关系？

（6）通过以上的探究活动，你发现一元二次方程x2-x+14=0与二次函数y=x2-x+14的图象（图2）有什么联系？

（7）一般地，如果一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，那么该方程的实根和二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的横坐标有什么关系？

设计意图为了引导学生自己探究到二次函数y=ax2+bx+c及其图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系.我们设计了7个由表及里、由浅入深的问题.从一个具体实例y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0出发，引导学生首先找出它们之间在表达形式之间的联系，再让学生分别用解方程的方法求出一元二次方程x2-2x-3=0的解和用观察图象的方法指出二次函数y=x2-2x-3与x轴公共点的坐标，并通过问题（4）（5）让学生建立一元二次方程x2-2x-3=0的实根与二次函数y=x2-2x-3图象与x轴交点的横坐标之间的关系.从而得到一般结论.

荷兰数学教育家弗赖登塔尔也指出：“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西，自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生.”美籍匈牙利数学家波利亚也说：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系.”

因此，教师应对教材中将要学习的内容，进行创造性的加工处理，结合学生的学习实际，在学生的“最近发展区”内设计成引导学生去探究的问题，让学生在思考探究的过程中完成对有关知识的学习和应用.学生在探究的过程中，其问题解决能力将会不断的得到提高和发展.

2.2加强应用意识（能力）的培养

《课标2011年版》指出“数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面”[1].这就要求我们在教学中加强应用意识的培养，“应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决”[1].可见数学应用意识就是一种用数学的眼光、从数学的角度去观察、分析周围生活中所遇到的各种问题的心理倾向和思维反应.现代社会比以往任何时候都更需要公民能自觉的运用数学知识去面对生活和工作中的问题.应用意识的培养过程是问题解决教学的核心策略.

案例2两种球拍各多少元？（2016年山东泰安中考题）

某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花M1600元.

（1）求两种球拍每副各多少元？

（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用.

分析（1）设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买直拍球拍m副，根据题意列出不等式，解不等式求出m的范围，根据题意列出所需费用关于m的一次函数，根据一次函数的性质解答即可.

解（1）设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副y元，由题意得，

20（x+20）+15（y+20）=9000，

5（x+20）+1600=10（y+20）.

解得x=220，

y=260.

答：直拍球拍每副220元，横拍球拍每副260元；

（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球拍（40-m）副，由题意得

m≤3（40-m），解得，m≤30，

设买40副球拍所需的费用为w，

则w=（220+20）m+（260+20）（40-m）=

-40m+11200，

因为-40

所以当m=30时，w取最大值，最大值为-40×30+11200=10000（元）.

答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球拍10副时，费用最少.

点评本题考查的是列二元一次方程组、一元一次不等式解实际问题，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式并正确解出方程组和不等式是解题的关键.

类似这样的问题来自于课本知识与现实生活的相互结合，学生在解答这样的问题时，其发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力都将得到提高和发展.加强应用问题的教学，既符合《课标（2011年版）》提出的加强“应用意识”培养的要求，也是进行问题解决教学的重要环节.

2.3重视综合实践活动

教育不能仅仅把学生禁锢在纯粹的“本世界”之中，不能无视学生与客观世界的关系.从教育的角度看，实践之于学生的发展如同知识之于学生的发展一样，是不可或缺的.实践的教育价值最集中地体现在促进学生发展上[7].然而，长期以来我国中小学教育中一直存在着知识教育与实践教育脱节、轻视实践育人的局限性，应试教育的愈演愈烈导致这种局限性日益凸现.实践的缺失，成为我国教育特别是基础教育人才培养方式的根本局限[7].这种脱节的现象或许就是我们的学生问题解决能力低下的根本原因.因此，为了不断“帮助学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以发展他们解决问题的能力，加深对‘数与代数’‘空间与图形’‘统计与概率’内容的理解，体会各部分内容之间的联系”[2].从根本上改变教育与实践脱节的现象，数学教学中，必须引导学生多参加综合与实践活动.

《课标（2011年版）》指出：“‘综合与实践’内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决问题的能力.”[1]加强综合实际活动是实施问题解决教学的有效策略.

案例3蜘蛛捕苍蝇的问题.

（1）如果蜘蛛沿着BB′―B′A′―A′D′的路径去捕捉苍蝇，需要爬行多少路程？

（2）如果蜘蛛沿着BA′―A′D′的路径去捕捉苍蝇，需要爬行多少路程？

（3）蜘蛛沿箱子内壁上的哪条路径去捕捉苍蝇，爬行的路程最短？最短路程是多少？

解：（1）如图3，BB′，B′A′，A′D′是该正方体的三条棱，所以，路径BB′―BA′―A′D′的长为BB′+B′A′+A′D′=1+1+1=3.

即这时蜘蛛需要爬行3m长的路程.

（2）如图3，BA′是正方形ABB′A′的对角线.在RtA′AB中，由勾股定理，得

BA′=AB2+AA′2=12+12=2.

所以，路径BA′-A′D′的的长为BA′+A′D′=（2+1）.

即这时蜘蛛需要爬行（2+1）m长的路程.

所以，蜘蛛沿路径BE―ED′爬行的路径最短，最短路程为5m.

“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动[1].它具有现实性、问题性、实践性、综合性和探究性等特点.它沟通了生活中的数学与课堂上的数学的联系，使学生在学习过程中接触到一些有研究和探索价值的题材和方法成为可能.

学生针对综合与实践活动，将综合运用所学的知识，借助于已有的生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学内容的理解.所以说，有针对性的开展综合与实践活动有益于提高学生的数学思考能力、问题解决能力.

2.4加强数学建模教学

见本人在本刊2016年第12期发表的“认真研读课程标准，教会学生数学思考”中相应部分.

由于问题解决中所指的问题比较新颖，似乎无规律可循，使得学生没有现成的对策，因而需要进行创造性的思考、探究、猜测等活动.只要学生具备扎实的基础知识，具有熟练的基本技能，掌握一些探究数学问题的经验和方法，能积极的进行数学思考活动，掌握数学建模的一般过程，就能很好的开展问题解决教学，逐步实现问题解决教学的课程目标.

参考文献

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012.

[2]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]李树臣.浅论国际中学数学教育发展的主方向[J].中学数学（湖北），2001（9）.

[4]李树臣.实施问题解决策略，让学生真正会学习[J].中学教研（数学），2014（12）.

[5]罗增儒.中学数学解题的理论与实践[M].南宁：广西教育出版社，2008.

[6]李树臣.正确认识探究活动，精心设计探究问题――探究活动的基本形式与探究性问题的主要类型[J].中学数学杂志，2014（10）.