一类无理函数的上、下界问题
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【摘要】 本文给出了在x+y+z=P（P为常数，x，y，z均为正数）的条件下，求无理函数y= n Ax+λ + n Ay+λ + n Az+λ （n∈N+且n≥2；A、λ均为常数且大于零）的上界、下界问题.
【关键词】 无理不等式；上、下界；上凸（下凸）函数
性质1 若f（x）是区间I内下凸函数（或上凸函数），则对x1，x2，…，xn∈I，有f x1+x2+…+xn n ≤ f（x1）+f（x2）+…+f（xn） n ①
（或f x1+x2+…+xn n ≥ f（x1）+f（x2）+…+f（xn） n ） ②
其中等号当且仅当x1=x2=…=xn时成立.
此性质可由琴生不等式直接得到.
性质2 连续函数f（x）在区间I上的严格下凸函数的 充分必要条件：对任意a，b，c∈I且a
连续函数f（x）在区间I上的严格上凸函数的充分必要条件是：对任意a，b，c∈I且a
证明 仅证③式，必要性：令t= c-b c-a ，由于a
b= b-a c-a ・c+ c-b c-a ・a= 1-t c+ta
及下凸函数定义，f tx1+ 1-t x2 ≤tf（x1）+ 1-t f（x2） .
有f（b）=f 1-t c+ta < b-a c-a ・f（c）+ c-b c-a ・f（a）.
即： c-a + b-a ・f（b）< b-a ・f（c）+ c-b ・f（a）.
亦即： c-b f（b）-f（a） < b-a f（c）-f（b） .
故 f（b）-f（a） b-a < f（c）-f（b） c-b .
充分性，反推上去即可（略）.
两个重要的结论：
结论1 函数f（x）= x x≥0 是上凸函数，且当0≤x1
证明 由0≤x1 1 x2 + x .
亦有： x - x1 x-x1 > x2 - x1 x2-x1 > x2 - x x2-x .
由上式中第一、三项及性质2（即④式）知：f（x）在区间 0，+∞ 上是上凸函数.
由第一、二项整理，即得⑤式.
例 已知a，b，c且a+b+c=1，求证：2+ 14 ≤ 13a+1 + 13b+1 + 13c+1 ≤4 3 .
证明 显然有0≤a≤1，因此易得：1≤13a+1≤14.
由⑤式（取x1=1，x=13a+1，x2=14），得
13a+1 ≥1+ 14 -1 a.
同理： 13b+1 >1+ 14 -1 b； 13c+1 >1+ 14 -1 c.
将以上三个不等式左、右两边相加，得2+ 14 < 13a+1 + 13b+1 + 13c+1 .
又由②式，有： 13a+1 + 13b+1 + 13c+1 ≤3 13 a+b+c +3 3 =4 3 .
从而有2+ 14 < 13a+1 + 13b+1 + 13c+1 ≤4 3 .
可类似于结论1得结论2
结论2函数f（x）= n x （x≥0，n∈N+且n≥2）是上凸函数，当0≤x1
n x > n x1 + n x2 - n x1 x2-x1 x-x1 ⑥
【参考文献】
[1]甘义宁.一个无理不等式猜想的推广及其证明[J].数学通报，2014（03）：62-63.
[2]邵志华，张小明.关于A-H上下界的几个结果[J].数学的实践与认识，2013（06）：206-214.