如何上好“‘杨辉三角’与二项式系数的性质”这堂课
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【摘要】 《“杨辉三角”与二项式系数的性质》这节课是以二项式定理为基础，研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形有重要作用，通过本节课的学习，学生需要掌握二项式系数的性质；会应用二项式系数的性质和赋值法等解决相关问题.而无论是性质的探究还是赋值法的领会和运用，对于学生来说都是个难点，我经过认真研究、悉心备课，整理出了如下的方式，经过试验，学生反映非常好，充分调动了学生的参与度和积极性，并且把赋值法的学习这个难点转化成了本节课的一个亮点，从而成功的上好了本节课，因此，特将本节课的大概写出来，以供同仁参考，希望对大家有所帮助.
一、温故而知新
上节课我们学习了“二项式定理”，即（a+b）的n次方的展开式，即：
（a+b）n=C0nan+C1nan-1b1+…+Crnan-rbr+…+Cnnbn+……，复项式定理内容及相关概念，开门见山的引出新课，并让学生完成课本的探究一一填表.
二、 探究性质
利用学生填好的表，启发学生：“表示形式的 变化 有时也能帮助我们发现某些规律”，从而引导学生稍作变化得到二项式系数表，然后，简单而自豪的介绍该表的来历，并鼓励学生去探究规律，在这里教师可以充分发挥学生主体地位的作用，放开手让学生大胆探究发现，老师在巡视过程中对于遇到困难的个别学生或小组可以适时引导.经过激烈、充分的探讨，学生可能会得到比书上还要多的规律，只要是正确的，我们都要一一肯定，从而增强学生的自信心和继续求知的欲望.
三、证明性质
学生得到的规律是当n=1，2，3，4，5，6时得出的，所以在此时可以抛给学生一个问题：“当n取任意正整数时，这些规律还成立吗？”为了降低难度，可以先引导学生把系数表转换成组合数的形式，然后由学生逐一去验证.
学生在验证“除1外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”时，容易出现的困难是：找不到Crn+1肩上的两个数分别是多少.这时教师可以通过具体的例子引导学生发现规律，比如利用C25=C14+C24；C46=C35+C45等给予提示.对于“先增大后减小，中间取最大值”，这条性质，（即“二项式系数的增减性与最大值”）的验证，可以这样引导学生：“对于一个确定的n，比如n=6，（a+b）n展开式中二项式系数的增减性与最大值除了可以通过杨辉三角观察出来之外，你还能有其他方法，能够直观的显示二项式系数的增减性与最大值吗？”学生可以各抒己见，最后他们通过讨论发现：二项式系数C0n，C1n，C2n，…，Crn，…，Cnn，可看成是定义在{0，1，2，…，n}上以r为自变量的函数f（r），从函数角度分析二项式系数的增减性与最大值，更直观！然后让学生画出 n=6，7时f（r）的图像，通过图像，直观的看出n=6时在r=3处取得最大值，n=7时在r=3和r=4处同时取得最大值.
教师适时总结升华：当对称轴是整数时，就在对称轴处取得最大值，当对称轴不是整数时，在离对称轴最近的两个整数处取得最大值.
在分析证明C0n，C1n，C2n，…，Crn，…，Cnn的增减性和最大值时，有了n=6，7的铺垫，
可以引导学生理解：要证明C0n，C1n，C2n，…，Crn，…，Cnn的增减性.只需要知道，Crn相对于Cr-1n的增减情况即可.然后由学生自己动手求解并探讨：使得Crn>Cr-1n的r的取值范围教师和学生一起总结出： n是偶数时，展开式是奇数项，中间一项C n 2 n最大；n是奇数时，展开式是偶数项，中间有两项C n-1 2 n和Cn n+1 2 相等，取得最大值.本着学以致用的原则，这里可以安排相应的练习题，便于学生巩固所学.
对于“每个展开式的二项式系数和为2n，（即C0n+C1n+C2n+…+Crn+…+Cnn=2n）”这个性质的分析与证明，我是这样处理的，对学生顺利掌握赋值法起到了很好的作用.
首先让学生观察要证的等式与二项式定理：
“（a+b）n=C0nan+C1nan-1b+C2nan-2b2…+Crnan-rbr+…+Cnnbn”的关系，教师提示：二项式定理是个恒等式，当a，b为任意的实数或者多项式时，依然成立.因此，我们可以根据需要灵活选取a，b的值.然后请学生大胆尝试给a，b任意赋值，看看能得出怎样的等式，这个环节就像游戏一样，学生们都乐此不疲的创造着一个又一个的等式.在诸多的等式中就已经出现了要证明的C0n+C1n+C2n+…+Crn+…+Cnn=2n以及
C0n-C1n+C2n-C3n+…+（-1）nCnn=0等等一个又一个漂亮的等式，顺其自然的就得到了：（a+b）n的展开式中的奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和.从而成功突破了这节课的难点，并让学生轻松掌握了这节课的重点.
通过这种方式讲授的本节课受到了学生和同事们的高度赞扬，各位同仁们不妨一试，希望对大家有用.
【参考文献】
[1]《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-3，人民教育出版社，A版.
[2]《普通高中课程标准实验教科书》数学选修2-3，教师用书，人民教育出版社，A版.
[3]吕永庚.让学生在自主探究中提升学习力[J].2011年12月.