专题复习:基本图形的变式分析

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近几年中考综合题中，开放性、探究性和创新性的考题越来越多，许多综合题是由一些基本图形改编而来。此案例以一基本图形为载体，进行提炼、变式与拓展，以训练学生学会思维，达到举一反三。

自主复习，感受基本图形

学生要能从复杂图形中发现基本图形，利用基本图形解决问题。

1.回答下列问题并分析图形特征，用红笔画出其中的“基本图形”。

已知，如图1梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，E是AB上一点，且DEC为等腰直角三角形，∠DEC=90°。

问：ADE与BEC有什么关系？

引申：如图2，将“等腰”去掉，ADE与BEC还全等吗？它们什么关系？

2.试一试，你能从图中找到“基本图形”吗？如图3：直线L上有三个正方形a、b、c.若a、c的边长分别是3和4，则b的边长为……

引申：正方形a、b、c的面积之间有什么关系？

分析与思考：这节课中心任务就是“基本图形”的识别与应用，因此将分析图形特征的过程体现到学案中，让学生在独立探索的过程中发现两种形式的“基本图形”，即全等与相似，有效地突出本课教学的重点。“试一试”是基本图形的变式应用，重点突显了从复杂图形中发现“基本图形”。

在自主学习的基础上，巩固所学的知识。如图4，已知矩形ABCD中，E是AB上一点，沿EC折叠，使点B落在AD边的B′处，若AB=6，BC=10，求AE的长。

分析与思考：小组学习环节中题目选择一定要抓住核心知识，引发学生思考，并能对数学的思想、解题的方法进行归纳或提炼，使方法系统化。这个题目体现了“基本图形”中相似变换的应用，但教学中不能只处理到这个层次，要引导学生在独立思考与小组交流相结合中找到所有不同的解法。这个题实际上很好地诠释了解决几何综合图形问题中的三种“求解工具”，即相似、勾股和面积等。

展示反馈，再探新知

已知：如图五，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=9，BC=13，CD=4，E是AD的中点。求证：CEBE。

分析与思考：如果把上题图中的BEC去掉，就变成了这个题目的图形，这道题与前面的题在思路和方法上有根本性的改变，但却是“基本图形”的另一种变化，让学生了解图形的多变和内在的联系。在课堂教学中，学生展示了7种不同解法，开阔了学生的视野，通过每种解法的分析总结，也很好地训练了学生的思维深度。需要注意的是，这是一个策略开放试题，课堂教学中“放”得开，也要“收”得住，要注意讨论之后的反思与总结，以及回归到课的主题“基本图形”中来。

拓展提升，学以致用

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=9，BC=13，CD=4。①在线段AD上是否存在点E，使∠CEB=90°？如果存在，直接写出E点的位置;如果不存在说明理由。②在直线AD上是否存在点E，使CEB为直角三角形？如果存在，求出E点的位置;如果不存在说明理由。

分析与思考：第一个问题是前一题的变式，有一定的联系，学生不需要理解考题的背景，让学生在已建构知识的基础上，进行探究，抓住问题的惯性，减少学生在课堂上的审题时间。第二个问题将“线段”引申为“直线”，将“直角”引申为“直角三角形”，俨然已演变为一道中考压轴题。这样从易到难，逐步完成了中考压轴题的“破题”过程，有效克服了学生对中考压轴题的畏惧心理。第二个问题中渗透了分类讨论思想，第一类∠CEB=90°（如图表a），其实就是上一环节中的题目;第二类∠ECB=90°、第三类∠CEB=90°（如图表b、c），作如图所示的辅助线就正好构成了“基本图形”，这样求解简单易行。通过这样的练习，学生达到做一题、会一类、通一片的效果。这样学习，学生更好地认清问题的本质，提高学生独立探究和解题能力。本专题复习利用一个基本图形，整合了初中数学的部分核心内容：全等、相似、勾股定理、方程等。让学生不仅会解一道题，而且会解一类题，从而提高学生的数学思维能力，真正实现专题复习课的高效性。

（作者单位：山西省灵石县教育科技局教研室）