小学数学教学中“循环论证”逻辑错误案例及分析

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逻辑错误是指思维过程中违反形式逻辑规律的要求和逻辑规则而产生的错误，如“偷换概念”、“偷换论题”、“自相矛盾”、“循环论证”等。小学数学教学中，由于部分教师逻辑学知识比较欠缺，教学中往往犯了典型逻辑错误，自己却毫无认识。笔者曾就听课过程中遇到的循环论证现象，与所有参与听课的教师进行探讨，结果是：能发现执教教师犯了循环论证谬误的老师非常少。这不得不令人对小学数学教学质量甚感担忧。

循环论证是指用来证明论题的论据本身的真实性要依靠论题来证明的逻辑错误，简单说，就是用假设证假设。本文通过两个典型课例，探讨小学数学教学中循环论证的不妥之处，期望引起广大小学数学教师的重视，教学中避免此类现象的发生。

课例一： 乘法分配律

小学数学教学中，运算定律这一类课的教学一共有以下内容：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律以及整数运算定律推广到小数、分数。

从教材编排（人教版）可以看出，这一类课教学的思路基本一致，即：情境引出具体算式――计算得出两组算式结果相等――观察算式，初步感知规律――学生自己举例并分别计算――观察所有算式，发现规律――表述规律――应用规律。

在实际教学中，教师往往在“计算得出两组算式结果相等”以及“学生自己举例并分别计算”两个环节中出现逻辑错误。下面以乘法分配律（图1）为例具体说明。

一位教师的教学过程如下：

1. 通过情境，分别引出算式：（4+2）×25、 4×25+2×25

2. 分别计算，发现结果相等，板书（4+2）×25？茔 4×25+2×25

3. 引导学生观察等号两边的算式有什么相同点和不同点，初步感知乘法分配律的形式及结构。

4. 学生自由举例。

……

进行到此环节，乘法分配律还没有形成，要求学生举例，无非是两个目的：一是让学生对乘法分配律的含义及数学结构表达式有更清楚的了解和认识，以便下一环节学生能初步总结出乘法分配律的含义及正确表达；二是增加更多的实例，让规律的得出更合理、更有说服力（至少对于学生而言更有说服力）。在此，需要特别说明一下，在小学数学教学中，发现规律这类课（包括找规律、运算律）的教学，所采用的基本都是不完全归纳法。所谓不完全归纳法，即以某类对象中个别的或特殊的部分对象具有（或不具有）某种属性为前提，推出该类事物具有（或不具有）该属性的一般结论的推理方法。在乘法分配律这一课中，（4+2）×25 = 4×25+2×25以及学生所举的例子（算式）都是个别对象，一般结论是指（a+b）×c = a×c+b×c。由于不完全归纳法没有穷举考察对象的全体，因此它的结论属于似真推理，严格来说，其结论的正确性需要进一步证明。但是考虑小学阶段学生的接受能力和认知水平有限，教材并没有作此要求。只是用不同形式表达了让学生举出更多实例的要求（图2），因为运用不完全归纳法时，一类对象被考察的个别对象越多，范围越广，结论的可靠性就越大。在乘法分配律一课中，教材没有安排让学生举例，但是《教师教学用书》却特别说明：学生完成“想一想”后，可以让他们再举出一些类似的例子。

回到刚才所说的让学生举例的环节，通过以上分析，我们应该明白：让学生举例是为了得到更多的具体算式（个别对象），让学生能从较多的算式中找到共同点（某种属性），即乘法分配律。也就是说，在此环节，乘法分配律并没有得出（还只是一个假设），更不能运用。更具体地说，学生举例的时候，思维顺序应该是：分别写出（a+b）×c和a×c+b×c这样结构的两道算式，然后通过计算，得出两个算式结果相等，才能在两道算式中间添上“=”；或者先写上“=”，然后分别计算，确认其结果相等，或者用其他方式说明其结果相等，例如：用乘法的意义。与此同时，教师在听学生汇报并板书学生的例子时，也应该按以上思维顺序进行。但是，在实际教学中，笔者多次听这节课，多次都发现以下现象。

现象一：学生“用结论证结论”

举例环节，部分学生所写算式通常从左写到右，如：（6+8）×9 = 6×9+8×9 ……。学生之所以这样写，说明他们已经把“（a+b）×c = a×c+b×c”当成正确的结论，即已经默认它是正确的，是可以运用的。也就是说，学生这样做，其实质已不是举例来进一步证明结论，而是在运用结论，已经犯了循环论证的逻辑错误。笔者每次听这一类课，到此环节，一定会走到学生中去，了解学生最真实的思维过程，每次都会发现班上有部分孩子不计算，直接从左写到右。

现象二：教师“默认”“用结论证结论”

如果说，学生犯循环论证的错误是“情有可原”――想偷懒（不计算）、逻辑思维不成熟等。那么，教师会怎样处理呢？部分教师是这样处理的：

1. 选择有代表性的例子，让学生板书在黑板上（或学生说，教师板书）；

2. 学生从左至右依次板书（或教师按照学生说的过程从左至右依次板书）；

3. 观察所有算式，找相同点；

4. 总结规律，形成结论。

不难看出，以上教学，教师默认了学生的思维错误。课后，本人找执教教师访谈，或者与所有听课教师交流，发现造成这一现象的原因主要有两方面：一是教师自身根本没有意识到逻辑错误所在，即自身本体性知识的缺失；二是部分教师只重知识的教学，忽略思维方法的引导。部分教师表示，当时感觉似乎有点不妥，但是急于想得出结论，也就没太在意，一带而过了。

也许以上教师没有意识到：培养学生严谨、科学的研究态度以及符合逻辑的思维方式，远比得到一个结论、记住一个知识点重要。不说长远，仅就小学数学而言，此类课占有一定课时数和学习量，其学习方式和思路也基本一致，因此，笔者建议：教师应该在这一类课的起始课，即加法交换律的教学时，做好充分的研究和设计，注意思维方法和学习方式的渗透和培养，为学生学习这一类课打好基础。

课例二：平行四边形的面积

“平行四边形的面积”一课的教学，通常都会安排数方格（图3）环节。

数方格计算面积，其作用有以下几点：一是可以直观计量，且基于学生原有认知和经验（学生在学习长方形、正方形的面积计算时已经使用过）；二是暗示了长方形和平行四边形两者之间的联系；三是通过数据，可以为学生猜想平行四边形面积计算公式提供依据（或者为证明猜想提供例证）。基于以上分析，我们可以知道，数方格的教学，是为探索平行四边面积计算公式所进行的必要的铺垫，但无论如何：此环节没有得出公式，更不可能运用公式。然而，听课中，笔者多次在此环节遇到以下问题：

教师布置数方格任务，学生开始独立或小组合作数方格，完成表格填写。

此时，笔者观察到：学生填写表格时，通常只数“底（长）”和“高（宽）”的数据，面积的数据则通过计算得出。以下是笔者和学生的对话：

笔者：××同学，平行四边形的面积是24平方厘米，你怎么知道的？

生：算的，6×4=24。

笔者：为什么用6×4呢？

生：6是底，4是高，底乘高。

笔者：你认为用底乘高就可以算出平行四边形的面积？

生：嗯！

以上是学生在认知上存在的思维逻辑。形成这种认知有以下几种情况：一是学生已经先学，明确知道平行四边形的面积计算公式是底乘高；二是受前面环节“猜想”的影响，把“猜想”当成了结论；三是受长方形面积计算的影响，直接进行迁移！不管是哪种情况，在这里，学生始终没有明白的思维逻辑是：平行四边形的面积计算公式需要通过自我探索、证明才能形成结论。对于学生的这一思维逻辑，教师又是如何处理的呢？以下是汇报环节的教学片断（学生数方格之后，教师组织汇报交流）：

师：谁来说说数的结果？

生：我发现平行四边形的底是6厘米，高是4厘米，面积是24平方厘米。

师：长方形呢？

生：长方形的长是6厘米，宽是4厘米，面积是24平方厘米。

师：同学们，你们数的和他一样吗？

生：一样。

师：对的，非常好！那你们观察一下表格中的数据，有什么发现？

生：我发现：平行四边形的面积等于底乘高。

……

很显然，以上片段教师并没有纠正学生的思维过程。那么，教学中该如何处理比较妥当呢？笔者建议：一是学生汇报后，教师要强调并确认面积是数出来的。可以在学生汇报的基础上，问学生：大家都数了吧？我们一起数一数。然后带着学生，通过课件演示，重数一次。第二，纠正个别学生的逻辑错误。利用课堂生成资源（如果怕伤害学生自尊，也可以虚拟一个人物），将采用计算得到面积的思维暴露给学生，让学生自己辨析，在辨析中明确问题所在，最后得到正确思维方法。

以上两个课例中提到的逻辑错误，是笔者在多年听课中经常遇到的问题，期望通过以上分析，能让教师建立正确的认识，避免此类问题重复发生。在教学中，其他逻辑错误同样存在，如以偏概全、偷换概念等。在此，也呼吁教师多了解和学习逻辑学知识，提高自身素养，在教学中注意遵循教学的序、知识的序、思维的序，帮助学生建立正确的思维方式和逻辑结构。