极限无缝隙论

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【关键词】"f(n)的极限是A""f(n)无缝隙地靠近于A""｜f(n)-A｜＜ε有形如N＜n＜+∞之类的项数解"

【中图分类号】G633.66 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）2-0011-02

关于数学极限定义的发展历史，北京大学数学科学学院一年级目前使用的课本数学分析（第一册）的31面这样写道："……，其实，给出其精确的定义并非一件易事，经过众多数学家的不懈努力和不断探索，直到19世纪才有了数学上的如下定义："这里所说的如下定义就是当前世界上各大学理工师范财经等专业所用的数学分析使用的极限定义。

从19世纪以来，在世界各大学已用了一、二百年了，对于这个传统性定义，师生们都觉得难教难学。传统性定义叙述词句别扭。而今我用极限无缝隙论，引入极限概念，并形象的给出其定义。

请看如下：

（一）一个奇特而有趣的数学现象

f(n)无限的靠近数A，而且无缝隙的靠近数A,但又不等于A,我们考查如下两个数列：

1、数列f(n)＝｛3－■ ｝n∈N+，a1=2.9 , a2=2.99 , a3=2.999 , a4=2.9999, a5=2.99999,a6=2.999999……，变化趋势是逐渐增大，无限制趋近于3，但不等于3，极大限制是3。

2、数列f(n)＝｛3+■ ｝，n∈N+ ，a1=3.1 , a2=3.01 , a3=3.001 , a4=3.0001 , a5=3.00001, a6=3.000001变化趋势是逐渐减小、无限制逼近于3，但就是不等于3，极小限制是3。

以上两数列之特点是：f(n)在变化过程中，

①f(n)越来越靠近某个数A 距离f(n)-A越来越小②f(n)就是不能触碰到A f(n)≠A

再考查下面的数列3：

3、数列f(n)＝｛■ ｝，a1=2 , a2=3.5 , a3=2.67 , a4=3.33 ,a5=2.8 , a6=3.17变化趋势为时而大于3，时而小于3，这时你就不能说它的极大（极小）限制是3了，但是它与前面两个数列是有共同点的：

数列3显然具有上述①之特点。

是否具有②之特点呢？且看若f(n)=3,即是｜f(n)-3｜=0,

|■-3 |=0,| ■-3 |=0, ■ |=0,1=0,矛盾。所以f(n)≠3,所以数列3具有②之特点。

数列f(n)= {■ }与数3是越来越靠近，但又不等于数3，它们之间好像应该存在一个空隙吧？为了澄清这个问题，可任意给个距离，例如距离是■ ，看看这个■ 的距离里是否还有f(n),若一个f(n)也没有，那便无疑地是空隙了，若有便不是空隙了。且看如下：

这就是｜f(n)-3｜=｜ ■-3 ｜＜ ■

｜■ ｜＜ ■

■｜＜■

1000＜n

1000＜n＜+∞

这就是说这个■ 距离里不但有f(n)的项，而且还是f(n)的无数多个项，而且还是从1000项起以后的所有各项都隐藏在这距离里。因而，■ 这个距离便不是空隙了。

把■ 改换成一个任意小的正数L＞0，就是如下：

｜f(n)-3｜＜L

｜ ■-3 ｜＜L

｜ ■｜＜L

■＜L

■＜n

所以[■ ]＜n＜+∞

所以第[■ ]项起以后所有各项皆隐藏在这个" ■"的距离里，因而"■ "不是空隙了。这样f(n)与数3不存在什么空隙了。

现在我们进一步讨论无缝隙靠近的情况。

我们可以再令L＝■ 、■ 、■ ……；代入到n＞[ ■]里去，就是n＞■，n＞■ ，n＞■ ……，分数的母子一颠倒，摇身一变便成了n＞1000, n＞10000, n＞1000000，……了。

这就是说从第一千项起、第一万项起、第一百万项起……以后，所有一切的项都有｜ ■－3｜＜■ ，｜ ■－3｜＜ ■，｜ ■－3｜＜■ 成立……；

也就是说从第一千项起、第一万项起、第一百万项起……以后所有各项，所有的一切项都统统地有序地被逼近到直线y=3上、下身旁，但是就不能触碰落到直线Y＝3上，（前面已证明）。数列f(n)之这些项被逼近在以直线y=3上、下旁，被逼近在一个以直线y=3为中轴线、向上、向下各延伸L个单位，总宽为2L，长度为足够长的长方形、条带形里，被覆盖、被关闭在宽度为2L，宽度无限制地变窄的条形长带里，f(n)被有序地，无限制地被逼近在直线y=3之上、下方，但又不能触碰到直线y=3，就这样被极其严格的限制着，这是一个非常奇怪而又有趣的景象，取这话前面的那个"极"字，取这句话后面的那个"限"字，故名曰"极限"，因而数3就是数列f(n)之极限。

以上若换成直线y=9,看看是否有上述之景象。

且看｜f(n)-9｜=｜■-9 ｜＜■

｜3+■-9 ｜＜■

｜-6+■-9 ｜＜ ■，就算-6+■ =-5，便有｜-5｜＜■ ，这怎么可能呢？矛盾，所以不等式｜-6+■-9 ｜＜ ■无解。把 ■换成更小的■ ……，更是无解，这就更是不含有f(n)的项了，所以得出f(n)与非极限数9之间存在一个大空隙。这样就把"f(n)极限是3"、"f(n)无缝隙靠近于3"、"距离不等式｜f(n)-3｜＜L有形如N＜n＜+∞之解"三者联系在一起了，我们问它们之间有什么关系呢？

（二）极限・无缝隙靠近・｜f(n)-3｜＜L有解，三者之间的关系是什么？

从以上研讨可以得出如下关系：

"f(n)的极限是3" " f(n)是无缝隙的靠近于极限3"， "不等式｜f(n)-3｜＜L有N＜n＜+∞之类型的解"。它们三者是同一个意思，即是等同等价的关系。

从而得出数列f(n)极限定义

（三）数列f(n)梁齐天极限的（描述性）定义

一个数列f(n)随着项数n的无限增大，无缝隙的靠近A，那么A就叫做数列f(n)之极限。

（四）数列f(n)梁齐天极限的（严密性）定义

已知数列f(n)，n∈N+，又已知一个常数A，若对于任意小的正数L，都能从f(n)与数A的距离|f(n)－A|小于L的不等式|f(n)－A|＜L，解出或存在形状如N＜n＜+∞之类的项数解，在此解之下，f(n)无缝隙地靠近于常数A，那么A就叫做当项数n无限制地增大时f(n)之极限，记为limf(n)=A（n+∞）或……，（上面定义里的"在这些解之下f(n)无缝隙地靠近A，这些词句太长，可以用一些特定的符号简单方便写成例如"在此解之下，｜f－A｜无限小，从而fA"，或"在此解之下，n∞，fA"。箭头符号""表示无缝隙地靠近。）

f(n)的极限是A，就称数列f(n)收敛于A，若A不存在，则称f(n)发散，或称无极限。

例1：求证：lin■=■ n∈N+，

证明：令L为任意小正数，|f(n)－■ |＜L，

｜■-■|＜L，｜■ |＜L，■ ＜L， ■＜L，■ ＜L，■ ＜4n+2，■ －2＜4n，■ ＜n，所以解得[ ■]＜n＜+∞这样的解，在此解之下，f无缝隙的靠近 ■，即是f ■，lim ■= ■（n+∞ ）

例2：求证数列f(n)=｛■ ｝的极限不是8

证明：任意给定ε＞0，解不等式｜f(n)－8｜＜ε，

｜ ■-8｜＜ε，｜ 3n+■-8｜＜ε，｜-5 +■｜＜ε，因为ε＞0任意小，不防令ε＝ ■，代入到｜-5 +■ ｜＜■里去，显然无解，再令ε等于比■ 还小的正数，同样｜-5 +■ ｜＜ε也是无解，这就是不等式｜f(n)-8｜＜ε不存在f(n)的任何一项，也就是说f(n)与数8之间存在一个缝隙（空隙）了，根据极限定义，limf(n)≠8(n∞)。

（五）从以上可以看出f(n)是无缝隙地靠近极限A，那你就干脆把f(n)等于极限A不就好了吗？这么一来，f(n)=A那就一点距离也没有了，那就什么缝隙也没有了。但从以上接触看来，f(n)是不能等于极限A的，例如数列f(n)=｛■ ｝是不能等于极限3的。这真是个奇特而又有趣的数学现象。不要小看了这个"极限"，它给数学开辟了一个广阔的新天地。小到设计制造一个机器，大到卫星上天、人类登月、飞登其他星球都是要用"极限"这个知识的。

至于其他类型的极限定义可以同理同方法处理之。

（六）梁氏极限定义与传统极限定义的对比

①从极限的几何解释讲起着重阐述"f(n)的极限是A""f(n)无缝隙地靠近于A""距离不等式｜f(n)-A｜＜ε有形如N＜n＜+∞之类的项数解"，三者关系等同等价关系，从而用"无缝隙的靠近"，这个纯朴而通俗的词语形象的讲明了极限这个概念，而传统性定义里就没有形象的讲明极限的概念。

②现在使用的传统性极限定义是"……，总存在正整数N,使得当n＞N时不等式｜f(n)－A｜＜ε都成立……"。这里的大N怎么确定存在呢？怎么找呢？原传统定义里没有说明。而梁齐天极限定义开门见山地明白指出从解｜f(n)－A｜＜ε着手，去解这个不等式，"解"被解出来了，那大N就自然而然地跳出来了，这多么顺畅和轻松呀，而解不等式又是学生们在此前经常接触和熟练使用的解算工具，从而使"极限"变成了一个通俗易懂易操作的课题。