页岩油革命与国际原油市场博弈理论模型
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[提要] 本文建立博弈模型描述页岩油革命对国际原油市场的影响。基于恒定弹性假定以及开采成本以利率的速度随时间增加的假定，如果产油商进行产量博弈（古诺模型），纳什均衡表明面对页岩油革命的威胁，OPEC没有理由改变开采计划，但随着总产量的增加原油价格将在更低位置上建立均衡。
关键词：页岩油；原油市场；古诺模型；OPEC；博弈
中图分类号：F41 文献标识码：A
收录日期：2015年6月9日
一、引言
2014年7月开始，国际原油价格持续下滑，一直到2015年1月才企稳。在此期间，布伦特原油价格从最开始的每桶100美元以上跌到最低时不到50美元。大部分分析认为，油价暴跌的主要原因是在美国页岩油革命导致产量增加时，OPEC选择增产，而非减产。过多的石油供应导致价格下跌。OPEC的增产行为是暂时的吗？油价会在一定程度上恢复吗？
本文建立以OPEC和美国众多页岩油开采商为参与者的博弈模型，解释OPEC的增产行为。本文主要结论如下：OPEC没有理由选择增产，我们观察到的增产行为仅仅是无效恐吓或非理性决策。OPEC的产量会恢复至页岩油革命以前的水平。随着OPEC产量恢复至页岩油革命前的水平，国际原油的价格会在一定程度上恢复。但油价最终的平衡位置会低于之前的水平，这是因为总产量的增加。
二、页岩油革命之前的模型
页岩油革命之前，可以认为市场上只存在以OPEC为代表的传统油气垄断集团。假设OPEC的产量函数为q0（t），t是时间。现在假设市场的需求函数如下：
p（q）=q■，（0
其中，需求弹性恒为1/（1-α）。OPEC的目标函数为：
max■[p（q■）q■-c■e■q■]e■dt （2）
其中，r是利率，成本c■以利率的速度增长。OPEC的限制是：
■q■（t）dt≤S■ （3）
即总开采量不能超过总石油总储量S0。把（1）带入（2），并把λ作为限制条件（3）的拉格朗日算子，OPEC的最优控制问题可表示为：
max■[e■q■■-c■q■-？姿q■]dt （4）
OPEC的最优决策应该为：
e■q■■-c■q■-？姿q■=0 （5）
或写为：
q■（t）=ke■ （6）
其中，k是恰能使之满足（7）的正实数。
■q■（t）dt=S■ （7）
三、页岩油革命后的模型
页岩油革命的发生，使整个国际原油市场由OPEC单方面的最优控制问题转变为OPEC和美国众多页岩油开采商之间的博弈。这个部分，我们试图建立这样的博弈模型，并求解纳什均衡。
我们假设OPEC和美国页岩油开采商之间进行产量博弈（古诺模型）。OPEC的产量为q0（t）。假设美国有n个页岩油开采商，产量分别为q1（t），q2（t），q3（t），…，qn（t）。页岩油开采商的成本均为c1，c1高于c0，但低于页岩油革命前的OPEC定价。假设每个页岩油开采商所拥有的储量都是S1。
市场的需求函数不变：
p（q0+q1+…+qn）=（q0+q1+…+qn）？琢-1，（0
现在考虑OPEC方面的决策。OPEC的目标函数变为：
max■[p（q■+q■+…+q■）q■-c■e■q■]e■dt （9）
限制条件仍为（3）。把（8）带入（9），并把λ0作为限制条件（3）的拉格朗日算子，OPEC的最优控制问题可表示为：
max■[e■（q■+q■+…+q■）■q■-c■q■-？姿■q■]dt （10）
OPEC的最优决策（反应函数）应该为：
e■（？琢-1）（q■+q■+…+q■）■q■+e■（q■+q■+…+q■）■-c■-？姿■=0 （11）
现在考虑美国页岩油开采商的决策。对于页岩油开采商i来说，目标函数为：
max■[p（q■+q■+…+q■）q■-c■e■q■]e■dt （12）
其中，成本c1以利率的速度增长。限制是：
■q■（t）dt≤S■ （13）
把（8）带入（12），并把λi作为限制条件（13）的拉格朗日算子，页岩油开采商i的最优控制问题可表示为：
max■[e■（q■+q■+…+q■）■q■-c■q■-？姿■q■]dt （14）
页岩油开采商i的最优决策（反应函数）应该为：
e■（？琢-1）（q■+q■+…+q■）■q■+e■（q■+q■+…+q■）■-c■-？姿■=0 （15）
现在求解纳什平衡。所有博弈参与者的反应函数由（11）和（15）共n+1个方程确定。联立这些方程，因为对称性，可知q1=q2=q3=…=qn，λ1=λ2=λ3=…=λn。可求得纳什平衡：
q■=■[■]■[■-1] （16）
q■=q■=…=q■=■[■]■[■-1] （17）
现在我们重点关注q0。q0可以写成：
q■=ke■ （18）
其中，k是恰能使之满足（19）的正实数。
■q■（t）dt≤S■ （19）
另外，总产量为：
q■+nq■=e■[■]■ （20）
四、比较分析
比较II和III中的结果，我们发现（18）、（19）和（6）、（7）完全相同。即页岩油革命不应该改变OPEC的开采计划。这是因为，对于石油开采这样总量受限的垄断供应中，在恒定弹性假设下，垄断企业的行为和完全竞争市场的行为完全相同（Stigliz，1976）。
对于总量受限的垄断供应企业，其行为不能和完全竞争市场中企业的行为区分开来。很自然的想到，当市场中企业数量增加，其行为仍然会是完全竞争市场中企业的行为模式，所以并不会改变。
对应到国际石油市场博弈中，竞争对手的进入（页岩油）不应该影响OPEC的开采计划。所以，我们所观察到的OPEC增产决定，可能仅仅是无效信号，或不可信的恐吓。可以预期，一段时间过后，OPEC的产量会恢复到页岩油革命之前的水平。随着产量的恢复，国际油价也会在一定的程度上恢复。
但需要注意的是，OPEC的开采计划不变，但总产量却增加了。根据恒弹性假定，这意味着油价的降低。可以预期，在国际油市重新取得平衡时，油价的新平衡位置会低于页岩油革命之前的水平。图1中页岩油革命前的开采计划（左）和页岩油革命后的开采计划（右）；由S0标示的OPEC开采计划不变，但总产量（S0+nS1）增加。（图1）
五、结论
在弹性恒定、成本以利率的速度随时间增加两个假定下，面对页岩油革命的威胁，OPEC没有理由增加产量。模型显示，OPEC的开采计划将不会改变。与页岩油革命之前的水平对比，总产量将增加，价格将降低。
主要参考文献：
[1]J.E.Stiglitz，Monoply and the Rate of Extraction of Exaustible Resources，The American Economic Review，Vol.66，No.4，Sept.1976.
[2]P.Dasgupta and J.E.Stiglitz，Uncertainty and the Rate of Extraction Under Alternative Arrangements，Institute Mathematical Studies in the Social Sciences （IMSSS），tech.rep.no.79，Sept.1975.
[3]U.Chakravorty，M. Moreaux，and M. Tidball，Ordering the Extraction of Polluting Nonrenewable Resources，The American Economic Review，Vol.98，No.3，June 2008.
[4]S.Salant，Nash-Cournot Equilibrium for and Exhaustible Resource Like Oil，mimeo.，Federal Reserve Board，1975.