联合采购配送优化模型
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1 引言
联合采购问题（Joint Replenishment Problem，JRP）是指从一个供应商处对多种产品进行分组采购，从而分摊主要准备费用，使订购费用得到节省，其学术价值和广泛的适用性自早期Shu［1］的研究以来被广泛认同［2］。相关研究又可分为间接成组和直接成组策略：（1）间接成组策略是通过寻求最合理的联合补充周期（T0）和各品种货物的补充周期（Ti），从而使总的相关费用最小化；（2）直接成组策略是研究如何将N个品种分成M组，使得总费用最小化，在每个组都需要确定一个固定的T0，在每次订货时本组中的每个物品都需要进行补货。因其在企业中有很强的应用背景，过去几十年中联合补货问题被广泛重视，较常见的有单企业多产品JRP以及多企业多产品JRP（M－JRP）。为提高实用性，不少学者对其经典JRP进行了扩展，一种扩展是放松确定性需求的假设，研究随机性JRP，如文献［3］讨论了需求服从正态分布的JRP，文献［4］研究了需求服从泊松分布的JRP；另一种扩展是增加资源或者运输条件约束［5－6］。遗憾的是目前文献多集中于研究单纯的JRP，较少联合考虑配送决策。其实，将JRP与配送相结合是非常有意义的，因为联合补货可以整合运输资源并可能获得批量折扣。如果从供应商的角度看，多企业供应问题可以采用类似供应商管理库存（Vendor Managed Inven－tag，VMI）方式进行管理，也可将其转化为JRP和旅行商问题（Traveing Salesman Problem，TSP）相结合的问题，如Qu等站在单一中心仓库向多家供应商订货的角度，同时决定中心仓库的库存策略及路径，以最小化长期总成本［7］；文献［8］描述了已知联合补货信息后，如何进行配送的问题，并考虑了最小化每时期需配送产品的最大值、最小化每时期需配送用户的最大值、最小化需配送用户的总数、最小化所需车辆数等四种情况，并设计了复杂的启发式算法进行求解；文献［9］研究了在一个配送中心，N个零售商的供应链中应用多品种联合补货模式，并针对多品种联合采购与配送调度优化提出了更灵活的策略，设计了解决此问题的混合遗传算法并与其他启发式算法进行了比较。文献［8，9］研究的缺点在于假设需求为确定的，实用价值有限。
JRP研究的难点之一在于模型的求解，确定性JRP已被证明是NP难题［10］。对于确定性JRP模型，已有一些较为成熟的算法［11］，然而考虑到需求的随机性且与配送调度相结合，模型求解变得非常复杂。而传统的方法又存在自身难以克服缺陷：（1）枚举法在枚举空间比较大时，算法效率较低，有时甚至在目前先进计算工具上仍无法求解。（2）常规的启发式算法对每个问题必须找出特有的启发式规则，难度高且无通用性。（3）也有学者采用遗传算法（Genetic Algorithm，GA）进行求 解［8］，结果证实GA也是一种可行的方法，但GA存在复杂的进化操作使其计算费用随着问题规模的扩大和复杂度的提高呈指数级增长，而且在一些特定的应用场合，算法搜索后期容易出现停滞现象，收敛到最优解的比率待提高。因此迫切需要寻找一种高效稳定通用的方法来突破此类复杂问题的瓶颈。作为一种随机的并行直接搜索算法，差分进化（Differential Evolu－tion，DE）算法保留了基于种群的全局搜索策略，采用实数编码、基于DE的简单变异操作和一对一的竞争生存策略，降低了遗传操作的复杂性［12］，具有以下优点：（1）算法通用，不依赖于问题信息，所需调节的参数较少；（2）算法原理简单，容易实现；（3）群体搜索，具有记忆个体最优解的能力；（4）协同搜索，具有利用个体局部信息和群体全局信息指导算法进一步搜索的能力；（5）易于与其他算法混合，构造出具有更优性能的算法。DE算法以其易用性、稳健性和强大的全局寻优能力在众多应用领域取得成功［13－15］，但在库存控制领域应用却相对较少［16］。但是，DE算法本身的也存在缺陷，容易陷于局部最优解，出现早熟现象，也有待改进。
因此，本文研究了随机需求、允许缺货环境下多企业多产品联合补货与配送集成优化模型及其求解算法。本文问题与文献［7］接近，文献［7］设计了一个启发式算法得到最优解，但需对特定的问题找出特有的启发式规则，且难度很高无通用性。因此，本文借鉴DE进化与遗传算法的优点，设计了一个改进的HDE算法，并将该算法应用于多企业联合补货与配送相结合的优化模型求解难题中，算例表明本文算法求出的总费用比该文献给出的要小，且本文算法收敛速度快，尤其难得的是稳定性高；此外，设计了一个先联合补货再配送的两阶段模型，通过算例证实联合补货与配送相结合的好处。另外，对相关决策参数进行了敏感性分析，以期得到有益的管理启示。
2 问题描述及模型建立
考虑一个在分散地点拥有多家零售店的企业，在合适的位置拥有一个中心仓库。各零售店根据市场需求或历史销售数据对需要补货的产品进行联合补货，中心仓库根据补货信息（补货周期）进行最优配送。目标是同时决定零售店的补货策略和中心仓库的配送策略，通过补货整合与运输整合，达到资源的最优利用，下面首先给出经典的联合补货模型。
2．1 经典JRP问题
经典JRP问题研究的是对一个企业中不同产品进行补货的问题，补货过程中包含两种补货成本：主要订货费用和次要订货费。设i代表产品编号，i＝1，2，…，n，确定性JRP的假设条件与EOQ模型类似，包括需求率确定且为常数、不允许缺货、订货提前期为0，相关参数定义如下：Di：产品i的需求率；S：主要准备费用，即固定订货成本；si：次要准备费用，即第i种产品的订购费用；hi：第i种产品的年单位库存费用；T：联合补货周期，为决策变量；ki：周期乘子，第i种产品的补货周期所包含的联合补货周期数，为决策变量。在间接成组策略下，每个产品的Ti是T的整数倍ki，产品i补货周期为：Ti＝kiT，则产品i的补货量为：Qi＝TiDi＝TkiDi。
2．2 两种联合补货—配送模型
（1）有协同的联合补货—配送优化模型（模型Ⅰ）
参考文献［7］的模型，在本文中各零售店的补货策略采用前面提到的联合补货模式，但与经典JRP有所不同：首先，经典JRP是针对单一企业多产品，而这里每个零售店可以对一个或多个产品进行补货；其次，经典JRP是需求确定性的联合补货问题（假设过于苛刻），本文考虑需求为随机，订购提前期为常量的情况，并允许缺货。配送方面，中心仓库根据补货信息（每个产品的补货间隔期等）对运输进行整合，针对每个基本补货周期，选择最佳的配送路径。考虑到供应链协同可能带来的收益，将补货成本和配送成本同时考虑，以最大化供应链协同的好处。具体实现方法：通过设定补货和配送公共的基本周期T来协调两种成本，使总成本达到最优。因此需要同时确定每个产品的订货间隔期和每个产品的库存因子（或每个产品在每个补货间隔期的最大库存水平），使联合补货和配送总成本最小。该模型的相关参数定义如下：Ri：产品i在每个补货间隔期内的最大库存水平；zi：安全库存因子；L：产品提前期所含时间单位数；δi：产品i单位时间需求波动的方差；M：补货行为的循环周期；πi：产品i的单位缺货成本；c：配送时单位距离成本；Fp：在零售店p停留的成本；d（j）：第j个最小补货周期时需要配送的路径。其余参数含义同2．1节所述。在这个模型中，总成本包括补货相关成本和配送相关成本，其中，补货相关成本由订货成本、库存持有成本和缺货成本组成；配送相关成本考虑在每个零售店的停留成本和距离成本并假设车辆容量无限，因此可以根据TSP思想寻求最优的配送路径。
①补货相关成本
由2．1节可知，总订货成本为：库存持有成本的计算方法如下：订单发出后，经过提前期L中心仓库接收到货物，这时中心仓库第i个产品的库存水平为Ri－DiL，下一个订单的货物将在kiT ＋L后受到，则在接受这批货物前一瞬间库存水平为Ri－Di（kiT＋L）。那么产品i在一个补货间隔期的平均净库存可近似为Ri－Di（L＋／2），则平均库存持有成本为：由于需求随机，本文假设给定产品的需求独立同分布，并服从布朗运动（Brownian Motion）过程，即当决策变量ki和T确定后，在每个特定的间隔期kiT内需求服从正态分布，期望E ＝ DikiT，方差Var ＝δikiT，需求的概率密度函数为f（xi，L ＋kiT）。考虑到提前期为L，产品i在每个补货间隔期内 最 大 库 存 水 平 为：在周期性补货模型中，一个补货间隔期内任何时刻都有可能缺货，且当需求超过Ri时缺货发生，因此缺货成本为：
②配送相关成本
当ki和T确定后，取ki的最小公倍数M，则每隔MT便会重复相同的补货和配送行为，因此仅需要考虑MT时间内补货策略和配送策略。配送成本为：综上，模型Ⅰ目标为：
（2）无协同的联合补货—配送两阶段优化模型（模型Ⅱ）
为了找出补货与配送协同对总成本的影响，设计了一个先补货、再配送的两阶段模型。在该模型中，第一阶段先对各产品进行联合补货，确定基本补货周期、各自的补货周期和库存因子，目标是最小化补货相关成本；第二阶段时中心仓库根据已求出的最优补货信息（补货周期和最小补货周期）进行配送，确定优化的配送路径，目标是最小化配送相关成本。与模型Ⅰ的区别在于：模型Ⅱ中，基本补货周期T1只对补货成本TC1进行协调。第一阶段，先考虑补货相关成本（同模型Ⅰ）：其中，Ri＝Di（kiT1＋L）＋ziδi（kiT1槡＋L）。然后求得最优的T＊，相应可确定最优的M＊，在此基础上，再借助TSP思想进行配送的优化决策。第二 阶 段，考 虑 配 送 相 关 成 本 （已 知T＊和M＊）：第3节将设计基于DE的新算法对上述两个模型进行求解。
3 求解算法设计
3．1 DE算法的流程
DE算法是一类简单而有效的进化算法，已被成功的应用于多个领域，标准DE进化算法包含3个操作：变异、交叉和选择。
（1）变异操作
对于每个目标向量xGi，i＝1，2，…，NP，基本DE算法的变异向量如下产生：vG＋1i＝xGr1＋F×（xGr2－xGr3） （1）式（1）中，随机选择的个体序号r1，r2和r3互不相同，且r1，r2和r3与目标向量序号i也不相同。因此种群规模NP≥4。F为缩放因子，很多文献中给出的取值范围为［0，2］，以控制差分矢量缩放。
（2）交叉操作
交叉操作的方程为：式（2）中rand（j）∈［0，1］为均匀分布的随机数，j表示第j个基因，CR为交叉概率常数，，randn（i）∈［1，2，…，D］，为随机选择的维数变量索引，以保证实验矢量至少有一维变量由变异矢量贡献。
（3）选择操作
DE算法采用“贪婪”的搜索策略，经过变异与交叉操作后生成的实验个体uG＋1i与xGi进行竞争，当uG＋1i的适应度较xGi更优时才被选作子代，否则，直接将xGi作为子代。以最小化优化为例，选择操作的方程为本文所设计的HDE算法中，变异操作和交叉操作将采用DE进化算法，而选择操作将采用遗传算法中的截断选择方法：当一个子代个体产生时我们不将其与父代进行比较，而是将它保留下来，当种群中所有个体都产生子代个体后，将得到一个新的种群，大小2倍的原种群。然后按照遗传中的截断选择法，截取较优个体。
3．2 基于混合算法的联合补货－配送模型的求解流程
将第一个目标分解为库存问题和配送问题，当ki、zi和T值确定后，根据ki解TSP问题可求出使配送成本最小的配送路径，由ki、zi及T值可求出总成本，不断的变更ki、zi及T，直到找到相对满意的解，算法步骤如下：
（1）初始化。对HDE进化算法的参数和常量（CR、F等）进行设置，产生初始种群。由于ki为整数解，且ki值的下界kLBi直接为1，根据现实的数据分析，ki值的上界都不会超过100，因而我们我们给kUBij一个较高的值100，从而在初始化时的种群值为kLBi和kUBij之间的值，并将所得的值进行整数化。同时对zi进行初始化，在0和3之间随机取值，T在0和1之间随机取值。ki、zi和T合并成xi为第i个种群。（2）目标函数值计算。xi值确定后，求解可以确定总成本。（3）差分操作。在算法没有停止时，对种群进行变异操作和交叉操作，得到子代与父代相混合的种群，种群规模变为原来的两倍。（5）遗传操作。通过总成本值对种群进行截断，得到下一代种群，进行下一步操作。（6）当循环达到给定的最大迭代次数，算法结束，给出结果；否则重复（2）－（5）。
4 算例与对比分析
模型的基础数据来源于文献［7］，如表1－表3所示，这样也方便进行对比。另外，还有两个参数：S＝100，c＝0．5元／单位距离。
（1）模型Ⅰ求解结果
DE算法应用的前提是设置好相关的参数，我们设计了实验来确定这些参数。变异算子F取值分别设为0．2，0．4，0．6，0．8，1．0，种群规模分别为80，100，120时，每组参数迭代150次，重复求解5次得到总成本的平均值如表4所示。从表4可看出F的取值对总成本的影响很小（与最优解偏差在0．25％以内），尤其当F大于等于0．6时，基本上不会影响到最优解的大小。鉴于此，我们将F值定为0．6，交叉概率按DE算法发明人［11］推荐值选择CR＝0．3。将表1－表3的数据带入Matlab编写的混合算法程序中，其中参数设置为：种群大小＝100，变异概率＝0．6，迭代次数＝150，标准DE算法参数设置同HDE算法，遗传算法参数设置为：种群大小＝100，交叉率＝0．9，变异率＝0．1，迭代次数＝150，三种各种算法的收敛情况见图1。重复求解50次，HDE算法每次都能收敛到最优解，且收敛速度较快；标准DE算法能保证每次收敛到最优解，但速度较慢；遗传算法前期收敛较快，但后期收敛缓慢，且不能保证每次都达到最优解，统计数据表明50次试验中有17次未达到最优（最优解误差在10e－4级别的认为达到最优值了）。将文献［7］中算法得出的结果与遗传算法、标准DE算法和本文算法得出的结果进行对比得出表5。为了方便比较，已将z值转化为R值。如表2所示，第一个产品的库存维持率为5．6，为5个产品中的最低，这种参数设置也反映到结果上来，产品1的k值比其他产品高。同时不难发现，当k分别为｛2，1，1，1｝，R分别为131．7，103．9，132．9，113．6，T为0．0811时总成本为9005．9。为了更好的与上述文献中的算法进行比较，对主要订货成本S进行敏感性分析，得到的各个最优解比较见表6。从表6可以看出，主要订货成本不同的情况下，本文算法始终比文献所提出的算法好，证明了HDE算法的正确性和有效性。
（2）模型II求解结果
对两阶段模型进行求解，相关数据和参数与模型I中算法相同，运行150次后得出模型2的最优解，表7给出了两个模型最优解的比较。从表7可以看出，与模型I相比，模型II的补货成本较低，配送成本较高，最终总成本较高，且总成本较高。这种结果比较容易理解，模型II中，只对补货进行了整合，尽量使补货成本达到满意值，而没有考虑其补货信息对配送成本产生的影响，因此其补货成本较低而配送成本则较高；模型I同时考虑补货和配送，对供应链进行整体的协调，使整体成本达到满意值。从表7的结果不难看出，协调供应链可以降低总成本。
5 敏感性分析
本节将针对需求率 （Di）、库存维持成本（hi）和次要订货成本（si）三个参数，采用单变量法对模型I进行敏感性分析，讨论各参数变化（在原数据基础上变化±10％，±20％，±30％，±40％，±50％）时，最优结果的变动情况，并记录了变化后最优成本与原成本值间的偏差。各参数的敏感性分析结果如表8－表10。从表8－表10可以看出，需求率、库存维持成本和次要订货成本预测不准均会给结果带来一定的影响，但如果仅在小范围内波动（例如±10％），则对结果影响并不大。而预测误差对K基本无影响，因其影响的是基本补货周期T。需求率和次要订货成本的预测误差均使重订货点增加、基本补货周期增加，并使总成本增加；而库存维持成本的预测误差则与其相反，使重订货点减小、基本补货周期减小，且总成本增加。不难发现，需求率和库存维持成本对结果的影响远远大过次要订货成本对结果的影响，前者误差可达30％，而后者仅在5％左右。这说明在实际预测中，如果需求率和库存维持成本预测不准将使得结果与实际偏差较大。
6 结语
企业科学的进行补货可有效降低采购成本，联合补货思想受到广泛关注，然而考虑到供应链协同情况下与配送进行整合优化的研究有待加强，也更有学术意义和应用价值。本文对此问题进行了研究，主要工作和贡献如下：（1）考虑允许缺货的情况，研究了随机需求环境下多企业多产品的联合补货与配送集成优化模型，设计了HDE算法对该模型进行求解，此算法稳定可靠、通用性强；（2）设计了一个无供应链协同的先补货再配送的两阶段优化模型，对比优化结果发现采用协同时补货成本较高，配送成本较低，且总成本较低；（3）对相关参数进行了敏感性分析，发现需求率和库存维持成本预测不准对总成本影响较大。本研究属于智能优化算法与库存控制的交叉研究，理论上丰富了库存决策理论，拓展了DE算法的应用范围，使其更具工程应用价值；实践上本文提出的方法可广泛应用于解决企业JRP与配送结合的库存决策难题，应用价值较大。以后可从以下方面进行研究：（1）将单一目标扩展为多目标决策问题，比如同时考虑总成本和缺货率两个目标；（2）考虑运输过程中非线性的运输成本进行研究，这样可使模型背景更贴近实际情况。这些情况下，模型求解变得更复杂，需要结合其他进化算法的优点设计更稳定、收敛速度快的HDE算法进行求解。