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P=UI的适用条件

1一道高考题参考答案的错误及纠正

2014年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷Ⅱ)第21题的参考答案引发了业内同行的争论,也引起了笔者一些思考.

原题如图1,一理想变压器原、副线圈的匝数分别为n1、n2.原线圈通过一理想电流表A接正弦交流电源,一个二极管和阻值为R的负载电阻串联后接到副线圈的两端.假设该二极管的正向电阻为零,反向电阻为无穷大.用交流电压表测得a、b端和c、d端的电压分别为Uab和Ucd,则

A.Uab∶Ucd=n1∶n2

B.增大负载电阻的阻值R,电流表的读数变小

C.负载电阻的阻值越小,cd间的电压Ucd越大

D.将二极管短路,电流表的读数加倍

参考资料给出的正确答案是B和D选项.其中对D选项的解析如下:根据变压器输入和输出功率相等,当二极管短路时,变压器输出功率变为原来的2倍,所以输入功率也增倍,因此电流表的读数加倍,故D正确.

笔者认为D选项是错误的.

当二极管未短路时,负载的电流有半个周期呈正弦变化,另半个周期电流为零,设其随时间变化图象如图 1所示.

令I为副线圈的电流有效值,根据有效值定义有:

∫T0i2(t)R・dt=I2R・T (式中i(t)为电流瞬时值,下同)

由于电流呈正弦变化,令i(t)=Imsin2πtT(式中Im为电流最大值,下同),且电流在后半周期数值为零,故积分上限取为T2.则原式等价于

∫T/20 (imsin2πtT)2・Rdt=I2R・T,

解得I=12Im.

当二极管短路时,负载电流呈正弦变化.

令I′为副线圈的电流有效值,根据有效值定义可计算得

I′=22Im.

所以I′=2I.

由于原线圈的电流由副线圈决定,且原、副线圈匝数比不变.所以原线圈的电流也变为原来的2倍.D选项的正确说法应是电流表示数变为原来的2倍.

2参考答案产生错误的原因

参考资料对于D选项的解析,是认为二极管短路时,负载电阻在正、反半周期内都有消耗能量,一个周期的耗能为未短路时的2倍,输出功率增倍,所以输出电流增倍,电流表的读数也加倍.

通过计算可以知道,当二极管短路后,变压器的输出功率确实增倍,解析的错误在于使用了P=ui这个式子(式中P为输出功率,U为电压有效值,I为电流有效值,下同),认为二极管短路前后,副线圈的电压有效值不变,功率增倍,所以电流有效值增倍.

事实上P=UI在这里并不适用.分析如下.

设副线圈的电压、电流随时间变化如图3所示.

副线圈输出功率

P=1T∫T0u(t)・i(t)dt

=1T∫T0Umsin2πtT・Imsin2πtTdt(1)

(式中Um为电压最大值,下同)

由于后半周期电流值为零,故积分上限取T2.

P=1T∫T/20 Umsin2πtT・Imsin2πtTdt=14UmIm.

若使用有效值计算,则可得

P′=UI=22Um・12Im=24UmIm≠P.

可见,此处利用P=UI计算出来的功率值是错误的.

3P=UI式计算功率的适用条件

那么,P=UI式计算功率的适用条件究竟如何呢?笔者作如下初步探讨.

根据有效值定义,可得∫T0u2(t)Rdt=U2R・T,则U=1T∫T0u2(t)dt.

同理可得I=1T∫T0i2(t)dt,

则P2=(UI)2=[1T∫T0u2(t)dt・1T∫T0i2(t)dt]

=1T2∫T0u2(t)dt・∫T0i2(t)dt,

根据功率的积分表达式,有P′2=[1T∫T0u(t)・i(t)dt]2,

由柯西-施瓦兹不等式可知,等式成立条件为

α・u(t)β・i(t),

即 u(t)i(i)=βα=R,R为定值时P2=P′2.

由以上分析, 可得结论:利用P=UI计算电路的输出功率,前提条件是电压与电流的比值不随时间改变.

以下讨论二个特例.

1.无论是直流电路还是交流电路,利用P=UI来计算电阻R的消耗功率,前提条件必须是电阻R为定值.

在含有二极管的交流电路中,由于二极管的单向导通性导致电路电阻随电流方向不断改变,P=UI不适用.这就是本题高考解析出现错误的原因.