P=UI的适用条件

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1一道高考题参考答案的错误及纠正

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅱ）第21题的参考答案引发了业内同行的争论，也引起了笔者一些思考.

原题如图1，一理想变压器原、副线圈的匝数分别为n1、n2.原线圈通过一理想电流表A接正弦交流电源，一个二极管和阻值为R的负载电阻串联后接到副线圈的两端.假设该二极管的正向电阻为零，反向电阻为无穷大.用交流电压表测得a、b端和c、d端的电压分别为Uab和Ucd，则

A.Uab∶Ucd=n1∶n2

B.增大负载电阻的阻值R，电流表的读数变小

C.负载电阻的阻值越小，cd间的电压Ucd越大

D.将二极管短路，电流表的读数加倍

参考资料给出的正确答案是B和D选项.其中对D选项的解析如下：根据变压器输入和输出功率相等，当二极管短路时，变压器输出功率变为原来的2倍，所以输入功率也增倍，因此电流表的读数加倍，故D正确.

笔者认为D选项是错误的.

当二极管未短路时，负载的电流有半个周期呈正弦变化，另半个周期电流为零，设其随时间变化图象如图 1所示.

令I为副线圈的电流有效值，根据有效值定义有：

∫T0i2（t）R・dt=I2R・T （式中i（t）为电流瞬时值，下同）

由于电流呈正弦变化，令i（t）=Imsin2πtT（式中Im为电流最大值，下同），且电流在后半周期数值为零，故积分上限取为T2.则原式等价于

∫T/20 （imsin2πtT）2・Rdt=I2R・T，

解得I=12Im.

当二极管短路时，负载电流呈正弦变化.

令I′为副线圈的电流有效值，根据有效值定义可计算得

I′=22Im.

所以I′=2I.

由于原线圈的电流由副线圈决定，且原、副线圈匝数比不变.所以原线圈的电流也变为原来的2倍.D选项的正确说法应是电流表示数变为原来的2倍.

2参考答案产生错误的原因

参考资料对于D选项的解析，是认为二极管短路时，负载电阻在正、反半周期内都有消耗能量，一个周期的耗能为未短路时的2倍，输出功率增倍，所以输出电流增倍，电流表的读数也加倍.

通过计算可以知道，当二极管短路后，变压器的输出功率确实增倍，解析的错误在于使用了P=ui这个式子（式中P为输出功率，U为电压有效值，I为电流有效值，下同），认为二极管短路前后，副线圈的电压有效值不变，功率增倍，所以电流有效值增倍.

事实上P=UI在这里并不适用.分析如下.

设副线圈的电压、电流随时间变化如图3所示.

副线圈输出功率

P=1T∫T0u（t）・i（t）dt

=1T∫T0Umsin2πtT・Imsin2πtTdt（1）

（式中Um为电压最大值，下同）

由于后半周期电流值为零，故积分上限取T2.

P=1T∫T/20 Umsin2πtT・Imsin2πtTdt=14UmIm.

若使用有效值计算，则可得

P′=UI=22Um・12Im=24UmIm≠P.

可见，此处利用P=UI计算出来的功率值是错误的.

3P=UI式计算功率的适用条件

那么，P=UI式计算功率的适用条件究竟如何呢？笔者作如下初步探讨.

根据有效值定义，可得∫T0u2（t）Rdt=U2R・T，则U=1T∫T0u2（t）dt.

同理可得I=1T∫T0i2（t）dt，

则P2=（UI）2=[1T∫T0u2（t）dt・1T∫T0i2（t）dt]

=1T2∫T0u2（t）dt・∫T0i2（t）dt，

根据功率的积分表达式，有P′2=[1T∫T0u（t）・i（t）dt]2，

由柯西-施瓦兹不等式可知，等式成立条件为

α・u（t）β・i（t），

即 u（t）i（i）=βα=R，R为定值时P2=P′2.

由以上分析， 可得结论：利用P=UI计算电路的输出功率，前提条件是电压与电流的比值不随时间改变.

以下讨论二个特例.

1.无论是直流电路还是交流电路，利用P=UI来计算电阻R的消耗功率，前提条件必须是电阻R为定值.

在含有二极管的交流电路中，由于二极管的单向导通性导致电路电阻随电流方向不断改变，P=UI不适用.这就是本题高考解析出现错误的原因.