从一题二解的微小差别谈起

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在学习和应用万有引力定律知识时，经常会遇到这样一道题： 如图1所示，在半径R=20 cm，质量M=168 kg的均匀铜球中，挖出一球形空穴，空穴的半径为R/2，并且跟铜球相切，在铜球外有一质量为m=1 kg，体积可忽略不计的小球，[TP11GW124.TIF，Y#]这个小球位于连接铜球球心跟空穴中心的直线上，并且在空穴的一边，两球心间距d=2 m.试求它们之间的相互吸引力.

解法1 割补法

本题着重考查了割补法在万有引力定律中的应用.通常的解题思路是将挖去的那部分空穴补上，就可以得到完整的铜球M跟小球m之间万有引力：F=G[SX（]Mm[]d2[SX）]，这个力F是铜球M的所有质点和小球m的所有质点之间引力的合力，它应该等于被挖去球形空穴后的剩余部分与半径为[SX（]R[]2[SX）]的铜球对小球m的吸引力的和，即：F=F1+F2.其中F1为挖去球形空穴后的剩余部分对m的吸引力，F2为半径为[SX（]R[]2[SX）]的小铜球对m的吸引力.根据万有引力定律不难得

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解法2 力矩平衡法

挖去空穴前的铜球处于静止状态，即转动平衡状态，故铜球所受的合力矩为零.我们可以将铜球看成由空穴部分的小球M/8和剩余部分7M/8组成，设剩余部分的重心到球心的距离 [LL]为L，选铜球最低点为支点，根据有支点的物体转动平衡条件可得，解得L=[SX（]1[]14[SX）]R.

再根据万有引力定律可得剩余部分与m之间的引力为

诚然，第一种解法的解题思想是要求学生掌握的，并且“割补法”在许多物理问题中都有着巧妙的应用，比如在库仑定律中的应用.但是第二种解法就真的一无是处么？造成这两种解法答案存在微小差别的真正原因又是是什么呢？

众所周知，质量分布均匀的规则的不太大的物体，其质心和重心的位置可以认为是重合的，都处于物体的几何中心；当物体线度很大时，质心仍位于几何中心，而重心则会偏离几何中心，这是因为重力加速度的大小和方向在大尺度上都要发生变化.当物体的形状不规则或者质量分布不均匀时，那么物体的重心和质心的位置的确定就不能简简单单的那么认为了.

万有引力定律告诉我们，任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力，这是由物质之间相互作用的根本属性所决定的，是物质的固有属性.质心反应的是物体各部分质量分布的特点，即质量的中心点.而重心可以简单理解为物体各部分所受重力的等效作用点，它不仅仅与物体的质量分布有关，还与各部分的重力大小、方向有关.从这一点上来看，质心比重心更具有普遍意义.

[HJ1.34mm]就本题而言，无论是从方法上来说，还是从物理本质上来说，第一种解法都要显得更加完美一些.但是第二种解法也不失为解决问题的有效途径.其微小差别在于求剩余部分质心位置时，所引入的力矩平衡模型.其中在求重力的力矩的时候，所用到的重力是地球万有引力的一个分力，万有引力方向是指向地心的，而重力方向是竖直向下的.简而言之，这样求出来的是重心的位置，而非质心的位置.而第一种解法的巧妙之处在于运用割补法避开了求剩余部分质心的位置.

许多物理问题，我们不仅仅要看问题所表现出来的现象，更应该挖掘隐藏在现象背后的本质，要知其然还要知其所以然.由于本人水平有限，有些观点未必成熟，恳请同行批评指正，以期起到抛砖引玉的作用.

比较以上两种解法的过程以及最终答案，不难发现，原解中没有分析清楚由涡旋电场所产生的感生电动势真正出现的位置，从而导致错误的发生，虽然答案与第二种解法相同，但是在电路结构及计算方法上却完全不同，而第二种解法所用到的基尔霍夫定律已经超出了高中生所具备的理论知识，倘若这题为学生课后自测题，很容易造成基础薄弱的学生因为答案正确而误认为自己已经掌握，反而知识面较宽的学生却无从下手.

综上所述，笔者认为包含感生电动势的问题，的确在难度和综合性上是考察学生能力的选择之一，但是作为出现在辅导资料中的题目，编者在编写答案时应认真校稿，同时教师也因基于学生能力出发，仔细选择具有区分度又符合学生能力的题目，避免将超出高中水平的内容混入其中.