浅谈初中数学中的“最值”问题

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在近年各省市数学中考试题中，“最值”问题一直是教师命题的热点，学生思维的弱点、考生解题的疑点、老师评析的重点.本人在教学一线多年，结合近几年中考命题中所涉及到“最值”的相关问题，谈一谈一些典型题目的类型，在解题审题中相关的看法，以供参考.

一、以“数”取胜

1.“隐性埋名”，包含其身.数是构成数学式子的基本元素.没有最大数，也没有最小的数，但是在特定的条件下，它就有最大值或者最小值，也可能既有最大值也有最小值.

例1(1)当x=时，二次根式5-x+1取最大值，其最大值为.

(2)当x=时，式子(x-2)2+4取最小值，其最小值为.

(3)已知3x+5|y|=7 (其中x>0)，求m=2x-3|y|的取值范围.

解析对于(1)、(2)两题，显然x+1、(x-2)2均为非负数，所以最大、最小值一目了然.第(3)题首先多元问题向单个未知数转化.

由3x+5|y|=7可知

3x=7-5|y|,x=73-53|y|,

代入x=2x-3|y|得

m=2(73-53|y|)-3|y|=143-193|y|.

由于无论y为任何数，|y|≥0，

又因为x>0,则x=73-53|y|>0,

所以0≤|y|

显然-215

2.透过现象，关注“配方”.配方法是求数的取值范围的有效途径和方法.

例2求代数式x2-3x-5的最小值.

解析对于这个问题只要将该式子转化为：(x-3)2-294可知最小值为-294.

二、以“形”求真

在初中阶段与最值有关的有两个基本定理：1.“两点之间，线段最短”;2.“垂线段最短”.所有问题的本质是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

例3如图1，点P是∠AOB内一点，且∠AOB=30°，OP=4，在OA、OB上分别求出点M、N，使得PMN的周长最小，并求出最小值.

例4正方形ABCD，边长为4，AE平分∠DAC,P为AE上一点，Q为AD上一点，连接PD、PQ，求PD+PQ的最小值.

例5已知边长为2的等边ABC，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上滑动，试求OC的取值范围.

解析例3求PMN的周长即求PM+PN+MN的最小值，由于这三条线段的长度都在发生变化，但其中的不变量是PM=P1M,PN=P2N，P、P1关于OA对称，P、P2关于OB对称,PMN的周长就等于P1M+ P2N+MN,最小值即为P1P2的长，P1P2O为等边三角形，边长4，即为OP的长.(图4)

解题原理利用对称关系；两点之间，线段最短.

例4求PD+PQ即利用对称关系求PD+PQ′，其中点Q、Q′关于AE对称，最小值即为DH，在ADC中，DH等于AC的一半22.(图5)

解题原理利用对称关系；垂线段最短.

例5 A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上滑动过程中，OM、CM的长度始终不会改变，其中点M为线段AB的中点，连接OM、CM、OC，所以OM+MC≤OC,即1+3≤OC,OC的最大值为1+3；当然当A、B任意一点与点O重合，则OC的最小值为2；所以2≤OC≤1+3 (图6)

解题原理抓住运动中的不变量即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的三边关系.

三、“数形”结合

利用“数形”结合的思想解决数学问题是常用的数学思想方法，而刻划数形最重要的定理即为勾股定理了.

例6求4+x2+(12-x)2+9的最小值.

解析观察根号内的形式，由平方和自然而然联想到勾股定理即表示线段的长度，构造如图7图形即RtABM中，∠B=90°，AB=2,BM=x,则4+x2表示线段AM的长，从而再次构建RtMCD,MC=12-x,CD=3,则(12-x)2+9为线段MD的长；所以问题就转化为求AM+MD的最小值.如图8，最小值为线段AD的长，再次构建RtADH,易求AD的长为13.

四、关注“变换”

例7已知x>0，求函数y=x+4x的最小值.

解析令a=x,b=4x，则有a+b≥2ab，

得y=x+4x≥2x・4x=4，

当且仅当x=4x时，即x=2时，函数有最小值，最小值为4.

根据上面回答下列问题：

①已知x>0，则当x=时，函数y=2x+3x取到最小值，最小值为.

解析将函数y=2x+3x转化为

y=2x+62x≥22x・62x=26.

②用篱笆围一个面积为100 m2的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆周长是多少.

解析设矩形花园的长为x m,宽为100x m，

周长=x+100x≥2x・100x=20 m.

③已知x>0，则自变量x取何值时，函数y=xx2-2x+9取到最大值，最大值为多少 ？

解析函数xx2-2x+9变式y=1x-2+9x，只需求x+9x-2的最小值就能求y的最大值.易求x+9x-2的最小值为4，则y的最大值为14.

例8如图9，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-33x+2分别交x轴、y轴于C、A两点.将射线AM绕着点A顺时针旋转45°得到射线AN.点D为AM上的动点，点B为AN上的动点，点C在∠MAN的内部.(1)求线段AC的长；(2)当AM∥x轴，且四边形ABCD为梯形时，求BCD的面积；(3)求BCD周长的最小值；(4)当BCD的周长取得最小值，且BD=532时，BCD的面积为.(第(4)问只需要填写结论，不要求书写过程)

评析该题第(1)(2)两问是在特定条件之下进行，而第(3)问是在一般条件进行，将类似例3放到平面直角坐标系中，主要弄清从特殊到一般再到特殊的研究方法，

以上是笔者通过几个典例对“最值”类问题进行简单的归类和思考，主要关注“数”与“形”两大抓手.“数”因“形”而立，“形”因 “数”而生，“数”与“形”的完美结合是解决“最值”类问题的关键之所在.