关于矩阵求逆的几种方法

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摘 要： 矩阵求逆是高等代数中很重要的内容之一，本文介绍了矩阵求逆的几种方法。

关键词： 逆矩阵 初等变换 伴随矩阵 级数 特征多项式

1.定义法

定义：设A为n阶矩阵，如果存n在阶矩阵B使得AB=BA=I。则称矩阵A是可逆的，称B是A的逆矩阵。

例1：求矩阵A=2231-10-121的逆矩阵。

解：因为|A|≠0，所以A存在。

2.公式法

定理1：n阶矩阵可逆的充要条件是|A|≠0，而且当n（≥2）阶矩阵A为可逆矩阵时，A=A，其中A为矩阵A的伴随矩阵。

用公式法求逆，当阶数较高时，计算量很大，所以该方法主要用于理论推导。

3.初等变换法

设n阶矩阵A，作n×2n矩阵，然后对此矩阵施以初等行变换，若把子块A变为I，则子块I将变为A，即初等行变换［I，A］。

4.Gauss-Jordan（高斯―约当）法

由定义AA=I，设Y=AX（Y，X均为n维向量），则X=AY。若将Y=AX改写成X=BY，则A=B。具体方法如下：写出Y=AX的矩阵形式yy...y=aa…aaa…a…………aa…axx...x，

由矩阵乘法写成方程形式y=ax+ax+…+axy=ax+ax+…+ax……………y=ax+ax+…+ax，

经消元后将上式转化为如下形式：

y=bx+bx+…+bxy=bx+bx+…+bx……………y=bx+bx+…+bx，

即X=BY，所以A=B。

5.广义的行列初等变换法

此方法可将阶数较高的矩阵化为阶数较低的矩阵再求其逆，使计算简化。

例4：设r+s阶矩阵A=BDOC，其中B，C是r，s阶可逆矩阵，则A=B-BDCOC。

证明：（I）用广义的初等行变换。

［Ａ，Ｉn］=BDI00C0I初等变换IO-B-BDCOIOC

由此得证。

（II）用广义的初等列变换法。

AI=BDOCIOOI初等变换 IDCOIBOOC初等变换 IOOIB-BDCOC，

由此得证。

6.和化积法

有的问题要判断方阵之和A+B的非奇异性并求其逆矩阵，此时可将A+B直接化为（A+B）C=I，由此有A+B非奇异，且（A+B）=C；或将矩阵之和A+B表示为若干已知的非奇异阵之积，并可得其逆矩阵。

例5：证明：若A=0，则I-A是非奇异的，并求（I-A）。

证明：（I-A）（I+A+A+…+A）=I

（I-A）是非奇异的，

且（I-A）=I+A+A+…+A。

例6：设A为n阶矩阵，且满足2A-3A+5I=0，证明A是可逆矩阵，并求A。

证明：2A-3A+5I=0

2A-3A=-5I

-A+A=I

A（-A+I）=I

A可逆，且A=-A+I。

7.利用多项式法

例7：已知n阶可逆矩阵的特征多项式是f（λ）=|λI-A|=a-iλ，求A。

解：由A可逆可得A的特征多项式是f（λ）的常数项a≠0，并由哈密特―凯莱定理知f（A）=0，即aA+…+aA+aI=0，故A（-（aA+…+aI））=I，于是A=-（aA+…+aI）。当已知可逆的特征多项式时，利用以上方法很容易找到A。

8.矩阵函数的级数展开法

例8：设矩阵B的特征根的绝对值小于1，且A=I+B，则A的逆矩阵存在，且A=I-B+B+B-B…

证明：因I与B可逆，令S=I-B+B+B+…+（-1）B，于是S是与A之积等于1+（-1）B。

所以SA（1+（-1）B）=I，由于可逆矩阵的逆存在唯一性，可知A=S。

参考文献：

［1］殷宗山.河北工程技术高等专科学校学报，1995.1.2.

［2］李桂荣.德州高等专科学校学报，2000.16.4.

［3］龚爱玲.天津理工学院学报，1995.9.3.

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