关于区间的认识

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摘 要： 本文就区间概念的理解作了探讨，进而从教材中对函数单调性的两种不同定义出发，对区间的几种错误理解作了解释说明，指出了区间具有连通性，对于区间的正确理解有助于理解函数单调性概念。

关键词： 区间 函数单调性 连通集

区间概念虽然简单，但是很多人仍然对于区间概念存在错误的理解。本文从教材中对函数单调性的两种不同定义出发，引出了人们对于区间的几种错误理解，并指出了区间具有连通性。

一、区间的概念

区间是数轴上一种最常见的点集，它有三类：

1．闭区间［a，b］={x|a≤x≤b}，其中a，b是任意实数（下同）。

2．开区间（a，b）={x|a＜x＜b}，（a，+∞）={x|x＞a}，

（-∞，b）={x|x＜b}，（-∞，+∞）=R。

3.半开半闭区间（a，b］={x|a＜x≤b}，［a，b）={x|a≤x＜b}，

［a，+∞）={x|x≥a}，（-∞，b）={x|x≤b}。

其中a、b分别称为相应的区间的左、右端点，区间中其它点称为该区间的内点。上述各种区间中，［a，b］，（a，b），［a，b）和（a，b］又称为有界区间或有限区间，其它的称为无界区间或无限区间。特别的，对于a＞0，区间［-a，a］和（-a，a）称为对称区间。区间是数轴上的线段或射线或整个数轴。“开”（“闭”，“半开半闭”）是指不包含（包含，只包含一个）其端点。对于上述四种有限区间，b-a称为该区间的长度，而无限区间的长度为+∞。

二、研究单调性引起的对于区间的争议

中学阶段，单调性是一个重要的概念，但目前两种教材（人教版与北师大版）在单调性概念的定义上有一点细微差别。

第一种定义（人教版）：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域内的某一区间D上的任意两个自变量x，x，当x＜x时，都有f（x）＜f（x）（或f（x）＞f（x）），则称函数y=f（x）在区间D上是增（减）函数。

第二种定义（北师大版）：一般的，对于函数y=f（x）的定义域内的一个子集A，如果对于任意两数x，x∈A，当x＜x时，都有f（x）＜f（x）（或f（x）＞f（x）），则称函数y=f（x）在数集A上是增加（减少）的；如果函数y=f（x）在定义域的某个子集上是增加（减少）的，那么就称函数y=f（x）在这个子集上具有单调性。

比较上面两个定义，可以发现第一种定义（人教版）局限于区间的单调性，第二种定义（北师大版）要比第一种定义（人教版）广泛点。由于这两种定义的差异，老师们产生了一些意见分歧：

吴有昌老师在《中学数学教学参考》（2008.4）中提出“一个问题的错解”：函数f（x）=在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数吗？作者指出：（-∞，0）∪（0，+∞）根本不是一个区间，它显然不满足第一种定义（人教版）。接着，有两位老师就此问题展开了对区间的争论:见申祝平《（-∞，0）∪（0，+∞）是一个复合区间》（《中学数学教学参考》（2008.10））和唐光明《（-∞，0）∪（0，+∞）是一个不连通区间》（《中学数学教学参考》（2008.10））。以下就此问题作分析。

（1）（-∞，0）∪（0，+∞）是一个复合区间吗？

申祝平老师这样分析：（-∞，0）是一个区间（简单区间），（0，+∞）也是一个区间（简单区间），从而（-∞，0）∪（0，+∞）是一个区间，而且是一个复合区间。

这段推理过程看起来很有道理，但是我并不赞同。科学是严谨的，数学更应该用严格的态度来面对，我们不能简单地用推理的方式去定义一个概念。数学应该是一门非常严谨的课程，目前并没有所谓的“简单区间”和“复合区间”之概念。

（2）（-∞，0）∪（0，+∞）是一个不连通区间吗？

《数学百科全书》（第三卷）（科学出版社，1997.5）第150页指出：“区间”即表示直线上的任意连通集。连通性是拓扑学中的一个概念。在拓扑学课程中，有如下定理：

定理：设E是实直线R的一个子集，则E是一个连通集当且仅当E是一个区间。

由上面的定理可以看出，区间等价于直线上的连通集。从而“（-∞，0）∪（0，+∞）是一个不连通区间”很显然是自相矛盾的。

注：在广泛意义下，实直线R上的单点集{a}，可以看作是一个区间［a，a］。

由此可以看出，一些老师对于区间的认识还不很深刻。

三、两种定义下的单调性

先看两个例子：

例1．f（x）=，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）

例2．g（x）=，x∈N

很显然，函数f（x），g（x）定义域（-∞，0）∪（0，+∞）和N都不是区间，在第一种定义（人教版）前提下，我们不能研究f（x），g（x）在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）和N上的单调性，对于f（x），我们可以分别研究f（x）在区间（-∞，0）和（0，+∞）上的单调性。对于g（x），它的定义域由一些离散的点构成，不构成区间。所以在第一种定义（人教版）前提下，我们不能研究g（x）的单调性。但这明显与我们的直觉不符。如果我们采用第二种定义（北师大版），这个问题就能解决了，在第二种定义（北师大版）前提下，我们可以研究f（x）在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上的单调性，也可以研究g（x）在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）和N上的单调性，此时，函数f（x）在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是单调递增函数，g（x）在定义域N上是单调递减函数。

在前面的叙述中，我们对区间有了很深刻的认识，也知道了对待数学概念应有的态度。

可以说，区间是很简单的概念，可是其中所包含的知识却也不简单。对区间的认识过程，也告诫我们，在认识数学概念的时候，一定要抱着科学严谨的态度，千万不可以只用推断、猜测、感觉去认识，所有的认识都一定要建立在科学的定义上。

参考文献：

［1］吴有昌.（-∞，0）∪（0，+∞）是一个区间吗？［J］.中学数学教学参考（上半月.高中），2008，（4）.

［2］申祝平.（-∞，0）∪（0，+∞）是一个复合区间［J］.中学数学教学参考（上半月.高中），2008，（10）.

［3］唐光明.（-∞，0）∪（0，+∞）是一个不连通区间［J］.中学数学教学参考（上半月.高中），2008，（10）.

［4］钱佩玲主编.普通高中课程标准实验教科书――数学必修1（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2004.

［5］严士健，李延林主编.普通高中课程标准实验教科书――数学1［M］.北京：北京师范大学出版社，2007.

［6］熊金城.点集拓扑讲义［M］.北京：高等教育出版社，2004.

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