导数法在函数中的应用
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例1 设[f ′（x）]是函数[f（x）]的导函数，其图象如图所示，则[y=f（x）]的图象最有可能是（ ）
[O][x][y][1][2][y=f ′（x）]
[y][x][O][1][2][y][x][O][1][2][y][x][O][1][2][y][x][O][1][2][A][B][C][D]
分析 先观察所给出的导函数[y=f ′（x）]的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择，还可以通过确定导函数[y=f ′（x）]图象的零点0，2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.
思路1 由题目中所给的导函数图象来判断原函数图象，根据导函数图象得到：当[x≥1]时，函数[f（x）]递增. 当[x
思路2 由[y=f ′（x）]的图象可以清晰地看出，当[x∈（0，2）] 时，[y=f ′（x）
思路3 在导函数[y=f ′（x）]图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由此可知原函数[f（x）]在[x=0]时取得极大值；又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数[f（x）]在[x=2]处取得极小值，故选C.
点拨 导函数值的符号与原函数单调性的依存关系为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；导函数的增减性与原函数的增减性没有必然的联系，但它刻画函数图象上的点切线斜率的变化趋势. 应该注意的是，若[f（x）]在某区间上可导，则由[f ′（x）>0（f ′（x）
函数极值的求法
例2 已知函数[f（x）=ln（2+3x）-32x2]，求[f（x）]在[0， 1]上的极值.
分析 本题是一道求函数极值问题，其求法主要依据函数极值的定义进行判断求解，即若函数[f（x）]在[x0]附近有定义，如果对[x0]附近的所有的点，都有[f（x）f（x0）]，则[f（x0）]是函数[f（x）]的一个极小值.
思路1 [f ′（x）=32+3x-3x=-3（x+1）（3x-1）3x+2]，
令[f ′（x）=0]，得[x=13]或[x=-1]，
当[-1≤x0]，[f（x）]单调递增.
当[13
因此得到极大值为[f（13）=ln3-16]，极小值为[f（-1）].
此种解法有误，忽视了函数的定义域，以及[f ′（x）=0]只是函数极值的必要条件.
思路2 [f ′（x）=32+3x-3x=-3（x+1）（3x-1）3x+2]，[x∈[0，1]]，
令[f ′（x）=0得， x=13或x=-1]（舍去）.
当[0≤x0]，[f（x）]单调递增.
当[13
函数[f（x）]在[[0，1]]上有极大值[f（13）=ln3-16].
思路3 [f ′（x）=32+3x-3x=-3（x+1）（3x-1）3x+2]，[x∈[0，1]]，
令[f ′（x）=0得， x=13或x=-1]， [y][x][-1]
由于函数定义域要满足：[2+3x>0?x>-23]，
当[-23
当[13
由图象和极值定义易得，在[x∈[0，1]]上，当[x=13]时取得极大值[ln3-16]，无极小值.
点拨 运用导数求极值的方法及注意点如下. （1）对于开区间上的可导函数，极值点一定是函数的稳定点. ①[f ′（x0）=0]只是[f（x）]在点[x0]处取得极值的必要条件，而不是充分条件，事实上，我们熟悉的函数[f（x）=x3]在点[x=0]的导数等于零，但在该点并不取极值；②结论成立的前提之一是函数在[x0]点可导，而导数不存在（但函数连续）的点也可能取到极值；③极值的可疑点是函数的稳定点和不可导点. （2）对于一元函数[y=f（x）]，求极值的步骤是：①求[f（x）]的导数[f ′（x）]；②解方程[f ′（x）=0]，求出[f（x）]在定义域内的所有稳定点； ③找出[f（x）]在定义域内的所有导数不存在的点；④利用极值存在的充分条件考查每一个稳定点和不可导点是否为极值点，是极大值点还是极小值点；⑤求出各极值点的极值.
运用导数求函数最值
例3 求函数[f（x）=x2-x3+2，x∈[0，1]]的最值.
分析 这是一道函数求最值问题，一般都是将极值与区间的端点函数值比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值.
思路1 求导[f ′（x）=2x-3x2]，
令[f ′（x）=2x-3x2=0]，则[x=0或23]，计算：
[f（0）=2]，[f（1）=2]，[f（23）=2427]，
因为[x∈[0，1]]，比较大小得，最大值为[f（23）=2427]； 最小值为[f（0）=f（1）=2].
思路2 图象法.
求导[f ′（x）=2x-3x2]，
令[f ′（x）=2x-3x2>0?递增区间为（0，23）]，
[f ′（x）=2x-3x2
[y][x][O][2][1]
由于[x∈[0，1]]，因此由函数图象易得[f（23）max=2427]，[f（0）min=f（1）min=2].
思路3 三元均值不等式.
[f（x）=x2-x3+2=][x2（1-x）+2]，因为[x∈[0，1]]，
所以[x>0]，[1-x>0].
则[f（x）=][x2-x3+2=x2（1-x）+2=x・x・（1-x）+2]
[=12x・x・（2-2x）+2].
[x+x+（2-2x）≥3x2・（2-2x）3]，
[2≥3x2・（2-2x）3].
[（23）3≥x2・（2-2x）?x2・（2-2x）≤827]
[?f（x）≤12×827+2=2427].
当且仅当[x=2-2x]，即[x=23] 时取等号， 最大值为[f（23）=2427]，最小值在端点值取得[f（0）=f（1）=2].
点拨 闭区间上函数的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得，一般是将函数的端点函数值与极值进行比较大小，最大的就是最大值，最小的就是最小值，如思路1；还可以根据函数的单调性特征画出函数的草图，进行直观求解，如思路2；除此之外，对于函数最值问题还可以运用均值不等式求解，如思路3.