分数阶控制器在不稳定系统中的应用

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[摘 要]针对工业过程控制中控制器参数不易选取的问题，提出一种以分数阶传递函数为目标计算控制器参数的方法。设定一个分数阶传递函数作为目标，通过计算得出分数阶控制器形式与参数。此方法具有计算简单，参数易选取等特点。利用一阶和二阶不稳定系统对方法进行验证，仿真结果表明此方法具有很好的实际操控性，得到的分数阶控制器具有很好的鲁棒性。

[关键词]控制器；分数阶；鲁棒性

中图分类号：TP13 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2015）26-0203-02

1 前言

在工业过程控制中，控制器参数选取的准确性决定着整个工业过程的稳定性，因此控制器参数的选取成为工业过程控制的重中之重。一种专家PID的参数选取方法[1]被提出并成功应用在主温控制系统中，但此方法参数整定复杂。在文献[2]和[3]中，作者成功获取串级控制器参数并成功使用在液压仿真转台和CVT速比控制系统中，但是其算法非常复杂，不容易操作。

本文首先设定一个目标传递函数，通过计算得到控制器形式与参数，再将控制器放入系统，对系统进行控制。此方法求解控制器步骤简单，易操作，求取的控制器操控性好、鲁棒性强，具有很好的实际应用性。

2 分数阶微积分

常用的分数阶微积分的定义是由Riemann-Liouvile，Grunwald-Letnikov和Caputo提出的[4]。Grunwald-Letnikov分数阶定义是

其中：为取整；为步长；为任意阶；为二项式系数，也可以用伽马函数代替为

由于Grunwald-Letnikov分数阶导数带有极限形式，所以Riemann-Liouvile给出了最广泛的分数阶导数定义为

其中：，和都为实数，，和是积分的上下限；为Euler伽马函数。

在物理系统和实际工程中，Gunwald-Letnikov和Riemann-Liouvile定义是相等的，通称为Letnikov-Liouvile（LRL）定义。尽管LRL的初值问题在数学上能够成功得以解决，但对初值问题给出合适的物理解释则变得毫无意义。Caputo解决了高端的数学理论与实际应用之间的矛盾，他提出的分数阶定义为[5]：

其中：和是积分的上下限，。

另外，Caputo对常数的微分为零，而LRL定义对常数的定义却不是零，如下式所示

但在初始值都为零的条件下，Caputo和LRL定义是相同的。

3 控制器设计

3.1 目标传递函数设定

首先选定一个目标传递函数，形式如下所示：

其中，和是常数，和是阶数（整数与小数皆可）。

在选取目标传递函数的时候要注意以下几点：

（1） 被选取的目标传递函数要收敛。

（2） 被选取的目标传递函数调整时间要适当。

（3） 尽量选取环节较少的传递函数。

（4） 被选取的传递函数阶跃响应峰值适当。

3.2 求取控制器

假设我们被控对象的传递函数是，控制器设定为，根据反馈定律得到以下等式：

式中和都是已知的，对其进行求解得到：

其中具体形式要由和的形式来确定。

4 仿真实验

4.1 一阶系统

本文选取一个不稳定系统作为被控对象，如下式所示：

通过传递函数可以看出，系统的极点在右半平面，属于不稳定系统。

选取一个分数阶目标传递函数如下：

根据上一节的控制器设计方法得到控制器如下：

使用此控制器对被控对象进行反馈控制，得到阶跃响应曲线如图1：

针对控制器的鲁棒性进行测试，将原来的被控对象增益进行改变，得到模型1和模型2依次如下：

对改变后的两个被控对象进行阶跃响应测试，曲线如图2所示：

4.2 二阶系统

选取一个不稳定的二阶系统作为被控对象，如下式所示：

依然选取目标函数如上一节所示，得到控制器如下：

对系统进行仿真实验，得到阶跃响应曲线如图3：

图中实线是原被控对象的阶跃响应曲线，虚线是将系统增益改变成4时的系统阶跃响应曲线。可以看出此时的控制器还是具有很强的鲁棒性。

5 结论

针对工业过程控制中，控制器参数不好选取等问题，使用分数阶模型作为系统目标函数，从而求取一个分数阶控制器。将分数阶控制器应用在原始模型上可以得到很好的控制效果，针对控制器的鲁棒性进行测试，将系统增益改变很多依然鲁棒性都非常好。仿真结果表明此方法具有实际应用型。

参考文献

[1] 王志萍，彭道刚，杨平，杨艳华.专家PID控制在主汽温控制系统中的应用[J].现代电力，2004，21（4）：58-61.

[2] 郭敬，赵克定，郭治富.液压仿真转台的PFC-PID串级控制[J].航空学报，2008，29（5）：1395-1400.

[3] 刘金刚，周云山，邹乃威，蔡源春，苏建业.DMC-PID串级控制在CVT速比控制系统中的应用[J]. 湖南大学学报（自然科学版），2007，34（7）：44-48.

[4] Chen Yangquan，Dou Huifan，Blas M V，et al.A robust tuning method for fractional order PI controllers[C].Procedings of the 2nd IFAC Workshop on Fractional Differentiation an Its Applications Porto.Portugal：Hindawi Publishing Corporation，2006：19-21.

[5] Podlubny I.Fractional-order System and PID Controllers[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44（1）：208-214.