浅谈三角函数中的解题思想

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摘 要：中学数学的三角函数是至关重要的一个领域，也是高考每年的必考内容.在学习和教学过程中困难很大。其涉及的基础知识、数学思想方法在数学和其他学科中都有广泛的运用.本文通过剖析几种常用的数学解题思想在三角函数中的应用，希望对各位有所帮助。

关键词：三角函数;解题;数形结合;分类讨论;函数与方程;化归思想;换元思想

一、课题提出的背景

众所周知，中学数学相比其他学科，在成绩上高低差距是比较大的，那么三角函数在数学学科上也始终是同学们的一个难点，并且是一个想得高分却无法做对的难点。由于语言表达抽象，而具体性较差、与现实有一定距离的三角函数，在学习上和教学上都有很大困难。那么，怎么样去诠释三角函数更让同学们理解呢？并不是大量解题训练，以获得正确答案为满足，不对解题过程进行反思，不总结解题经验和教训，更不对问题进行引申，结果是导致数学学习效率低下、成绩不高，老师和学生压力都很高。

二、要有怎样的解题思想

中学数学固然难学且又无趣，但是有许多同学都知道数学的重要意义。并且三角函数作为数学教学中的核心，还与数学中其余的大部分知识领域都有着非常紧密的联系，解决好三角函数这类问题，其余各中学数学的各个领域也就轻松了。由于这部分内容概念比较抽象，理解比较困难以外，解题的方法也相对灵活，因此就导致出现了同学们解题困难的现象。解决三角函数，需要有以下的解题思想：

1.数形结合的思想方法;2.分类讨论的数学思想方法;3.函数与方程思想;4.化归思想;5.换元思想

三、怎样去实践应用

1.数形结合是中学数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使一些抽象、很难理解不易懂的数学问题变得直观化、生动化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于了解数学问题的本质。还有很多问题，使用了数形结合的方法，这些问题便迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：

（1）实数与数轴上的点的对应关系;（2）函数与图像的对应关系;（3）曲线与方程的对应关系;（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等;（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式。

其次，数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。

2.分类讨论是解决数学问题的一种很逻辑的思想方法，就是依据一定的标准，对问题进行分类求解，然后综合出问题的答案。解决三角函数这类复杂问题时，应将讨论的对象分成若干相对简单的情况，然后对各种情况逐个讨论，最终使整个问题得以解决。分类的一般原则是不重不漏，特别是不能遗漏所讨论问题的各种情形。下面是对三角函数解题时的一些分类讨论：

（1）根据整数的不同取值进行分类。三角函数中经常会遇到与整数参数k有关的问题，而根据整数的不同取值会导致不同结果，这就需要对整数k的取值进行分类讨论。

（2）根据角边所在象限进行分类。当角α在不同象限时，角α的三角函数值符号也不相同，因此，当已知条件中指明角α所在象限时，常根据角α可能所在的每一象限进行讨论。

（3）三角函数的系数若为参数，便要进行讨论。若三角函数求最值或者求值域等问题，如果表达式中三角函数的系数含有不确定的字母参数，需进行分类讨论。

（4）先经过换元后，再进行分类讨论。遇到字母参数若为较复杂的三角函数，一般先将三角函数的参数进行换元，转换为新变量的二次函数问题，由于三角函数有界性，所以，对不确定的字母参数在不同区间进行分类讨论。

3.利用函数与方程的思想来解决三角函数，有以下几个方面：

（1）创建方程证明三角等式;（2）创建函数证明条件等式;（3）创建函数来求值;（4）创建函数求最值

4.化归思想在数学应用中非常普遍，在三角函数上也很常见。在三角函数中要利用好化归思想，需要：

（1）创造条件达到化归目的，使已知量和未知量联系在一起，应取过渡元素，可以添加辅助线简历引理。

（2）让已知量和未知量结合，比如代数到三角、几何的转换。

（3）整体分析化归，包括整体带入和整体处理，从而换元解决问题。

（4）观察个体变化，划归到一般情况。

5.解决三角函数是应有换元思想，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，它的目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。在三角函数中，我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。

参考文献：

[1]李明振，数学方法与解题研究，上海科技教育出版社，2003.

[2]南京师范大学主办数学之友，《数学之友》杂志社，2008（9）.

[3]侯守一，三角函数复习浅谈，名师专题讲座，2007年4月.