开设“非线性电路混沌效应”实验的实践与探索
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摘要：利用九孔板套件研究了非线性负阻的伏安特性，解释了混沌产生的原因，并且实现了对混沌现象的观测；在突出了非线性负阻在产生混沌过程中所起的决定性作用的同时，简化了电路的连接，有助于学生更形象地理解非线性电路和混沌效应。
关键词：九孔板；非线性电路；混沌现象；非线性负阻
作者简介：冯娟（1976-），女，山东平原人，中国地质大学（北京）数理学院，讲师；阳天舒（1992-），男，湖南株洲人，中国地质大学（北京）信工学院本科生。（北京 100083）
基金项目：本文系2013年大学生创新实验项目（项目编号：2013AB047）、中国地质大学教学研究与教学改革项目（项目编号：JGYB-201233）的研究成果。
中图分类号：G642.423 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）02-0168-02
混沌现象的雏形诞生在一百年以前，法国著名数学家、物理学家儒勒・昂利・庞加莱（Jules Henri Poincaré）在研究三体问题时发现卫星轨道具有不确定性，首先发现了宇观天体中的混沌现象。混沌系统是典型的非线性系统，其长期行为是内部非线性耦合反馈作用的直接结果。非线性动力学以及与此相关的分岔混沌现象的研究，是近二十多年来科学界研究的热门课题。该学科涉及非常广泛的科学范围，从物理学到电子学，从生态学到气象学，从数学到经济学等，应用极为广泛。当前，混沌电路的研究是非线性电路研究的重要分支之一，[1，2]据此，中国地质大学（北京）物理实验中心开设了“非线性电路混沌效应”实验室开放项目。本项目引导学生利用九孔板平台自己建立1个非线性电路，该电路包括1个非线性元件、1个LC振荡器和1个RC移相器。观测振动周期产生的分岔及混沌现象，测量非线性元件的电流-电压特性。不仅使学生增加了专业知识、拓宽了知识面，而且为物理实验教学改革提供了一种新的思路，激发了学生的学习热情。本文将主要针对混沌电路的分析方法、设计方法与数学基础作相关讨论。
一、非线性电路原理分析
随着科技的发展，对于非线性电路中混沌现象的研究也逐渐深入。产生混沌现象的自治电路至少需要具备3个条件[3]：有1个非线性元件；有1个用于耗散能量的电阻；有 3个存储能量的元件。蔡氏电路是满足这些标准的最简单的电子线路，因此也成为了研究混沌现象的常用电路之一，其元件连接如图1所示。
图1中，只有1个非线性元件R2，它是1个有源非线性负阻器件；电感器L1和电容器C1并联组成1个LC振荡器，其损耗可以忽略，产生正弦信号；可变电阻R1和电容器C2串联组成RC移相器，将LC谐振回路产生的正弦波移相输出。非线性元件R2是电路的关键元件，其作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列非线性现象。
将C1和C2两端的信号输入示波器，使LC振荡器产生的正弦波，与经过RC移相器移相后的正弦波合成，观测振动周期产生的分岔及混沌现象。[4]上图电路的非线性动力学方程为：
（1）
式中，G表示电阻R1的导纳，；表示电容器C1上的电压；表示电容器C2上的电压；iL表示通过电感器L1的电流。g为U的函数，如果R2是线性元件，则g为常数，图1电路就是普通的振荡电路，上述方程组的解是正弦函数。将C1和C2两端的信号输入示波器的X、Y轴，合成的李萨如图形是椭圆。如果R2是非线性元件，会出现什么现象？它的伏安特性曲线如图2所示，特性曲线整体表现为非线性，但具有分段线性的特征。因为g总体表现为非线性函数，所以上述的非线性方程组没有解析解。若用计算机编程进行数值计算或者采用仿真软件，可以观察到虚拟实验的混沌现象，但更为直观的方法是利用示波器来观测混沌现象。
二、实验设计与数据分析
实验配置的仪器是杭州大华科教仪器研究所的DH-SJ系列物理设计性实验装置。非线性电阻是电路的关键元件，它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的，其电路如图3所示，其伏安特性曲线如图2所示。从特性曲线可以看出，电压与电流的极性始终是相反的，并且总体变化是非线性的。
1.非线性电阻伏安特性的测量
因为混沌现象形成的主要原因是电路中的非线性元件，非线性元件是电路系统产生混沌吸引子的关键元件，因此，测量它的伏安特性是研究电路混沌现象的关键。要实现在九孔板平台上观察电路的混沌现象，并用于教学和各类非专业人士的研究，准确测量非线性负阻的伏安特性是很重要的，按照图4进行接线测量。对非线性负阻串联一个型号为ZX21a的可调电阻箱作其负载，其阻值范围是0～99999.9Ω。同时用到两个四位半的数字万用表，其一测量电路的电流，其二测量负阻两端的电压，用来测量非线性负阻的伏安特性，结果如图3所示。由图可以看出电流和电压的极性始终是相反的，变化是非线性的，但具有分段线性的特征，其内阻和其负载的大小有关。
2.实验现象的观察与分析
（1）非线性电路的连接。用示波器来观察混沌现象，实验电路如图5所示，电路中，L1C1并联构成谐振回路，可变电阻W1、W2和C2组成移相器，使C1和C2两端输入示波器的信号产生相位差，即可得到X、Y两个信号的合成相图（李萨如图）。从图2可知，双运放TL072的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的大小与R3/（W1+W2）、R4/（W1+W2）有关，负反馈的大小与R2/R1、R5/R4有关。当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡。调节W1和W2，正反馈发生变化，TL072就处于振荡状态而表现出非线性。用同轴电缆将CH1连接双踪示波器CH1通道（即X轴输入）；CH2连接双踪示波器CH2通道（即Y轴输入），可以交换X、Y输入，使显示的图形相差90度。并且，调节示波器至X-Y的工作状态，使CH1输入反映在示波器的水平方向，CH2输入反映在示波器的垂直方向。调节可变电阻器的阻值，观察示波器上的图像。
（2）混沌效应的观测。最初仪器刚打开时，电路中有一个短暂的稳态响应现象，这个稳态响应被称作系统的吸引子。这意味着系统的响应部分虽然初始条件各异，但仍会变化到一个稳态。在本实验中对于初始电路中的微小正负扰动，各对应于一个正负的稳态。当电导继续平滑增大，到达某一值时，响应部分的电压和电流开始周期性地回到同一个值，产生了振荡，观察到了一个单周期吸引子，它的频率决定于电感与非线性电阻组成的回路的特性。
再增加电导1/（W1+W2），可以观察到一系列非线性现象。先是电路中产生了一个不连续的变化：电流与电压的振荡周期变成了原来的二倍，也称分岔。分岔指在系统中，当一个参数从某一临界值变到该临界值以上时，系统长期行为的一个突然变化，在相空间中表现为周期的倍增效应，被称之为周期分叉。继续增加电导，会发现二周期倍增到四周期，四周期倍增到八周期。如果精度足够，当连续地调节时，就会发现一系列永无止境的周期倍增，最终在有限的范围内会成为无穷周期的循环，从而显示出混沌吸引的性质。[5]可依次观测到单倍周期图形（图6a）、二倍周期分岔图形（图6b）、四倍周期分岔图形（图6c）、三倍周期分岔图形（图6d）。
通过调节电位器进而改变非线性负阻的工作区间，随着非线性负阻的工作区段向左延伸，相图由单周期展宽为多周期，直到出现最极端的奇异吸引子，此时整个区域都被占满，[6]非线性电路处于双吸引子的状态（图6e）。观测的同时可以调节示波器相应的旋钮，来观测不同状态下Y轴输入或X轴输入的相位、幅度和跳变情况。电感的选择对实验现象的影响很大，只有选择合适的电感和电容才可能观测到最好的效果。
三、结束语
本实验采用九孔板套件连接成蔡氏电路，用示波器观测LC振荡器产生波形的周期分岔及混沌现象。在示波器上可清晰地观测到混沌现象的单倍周期、多倍周期及双吸引子状态的李萨如图形，形象直观生动，图形明显，重复性好。采用开放性实验平台，提供直观的电路基本元件，由学生自己接线，提高了学生的动手能力。九孔板套件封装简单，各元件可直接插到九孔板上使用，因此简化了对电路的操作，为非专业人员认识研究非线性电路的混沌现象，以及高校的实验教学提供了更直观、更简便的平台。需要注意的是，示波器的扫描频率选择若不合适，可能无法观测到正确的图形，需要仔细调节不同的扫描频率档，获得最佳的扫描图像。另外，本实验还可用于物理演示实验及学生自主设计性、开放性物理实验。
参考文献：
[1]张玉兴，赵宏飞，向荣，等.非线性电路与系统[M].北京：机械工业出版社，2007.
[2]高金峰.非线性电路与混沌[M].北京：科学出版社，2005.
[3]Chua，LO.Nonlinear Circuits[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems，1984，31（1）：69-87.
[4]王殿学.蔡氏电路中混沌现象与非线性电阻伏安曲线关系的研究[J].辽东学院学报（自然科学版），2010，17（4）：317-320.
[5]杭州大华科教仪器研究所.DH-SJ1物理设计性实验装置使用说明书[R].
[6]罗页，乐永康.蔡氏非线性电路的深入研究-参数测量和实验现象观察的新方法[J].大学物理，2010，29（6）：53-57.