介质涂层金属圆柱体有限元法电磁散射特性的分析
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Analysis of Electromagnetic Scattering from a Cylindrical Metal by the Finite Element Method
Zhou Jingjing
（Department of Electronic and Information Engineering，Xi'an University of Posts and Telecommunications，Xi'an 710061，China）
摘要：本文以有限元方法(FEM)为基础，结合边界积分方程(BIM)这一开域边界条件的混合有限元算法实现对目标散射特性问题的分析。本文以一个介质涂敷金属圆柱为例应用有限元/边界积分方程法(FEM-BIM)实现计算结果，并与精确结果进行对比，吻合很好。
Abstract: Using the hybrid Finite Element Method (FEM), combined with Boundary Integral Method (BIM), this paper analyzes the electromagnetic scattering properties of objects. Here an example of a cylindrical metal has been presented, the results have been computed by the hybrid FEM and show the accuracy and validity compared to those published in literature, good agreements are obtained.
Key words: finite element method；boundary integral method；electromagnetic scattering
中图分类号：O441 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）19-0039-01
0引言
随着电子对抗的不断发展，现代战争表现为电子高科技的对抗，而雷达探测、目标的雷达截面和隐身技术是电子对抗中主要的对抗领域之一[1，2]。而目标的雷达散射截面（RCS）的特性分析已成为隐身领域中一个日益重要的研究课题。
在飞行器上涂吸波材料是减小飞行器雷达散射截面的一种常用的方法。它的基本原理是雷达波能量在经过吸波材料时被转换成欧姆损耗而被吸收掉，从而降低目标总的回波强度，达到减小雷达散射截面的隐身效果。如何对涂敷目标的散射截面进行定量的计算，混合有限元法――有限元/边界积分方程法是对该问题进行分析的有效工具。
把有限元方法应用于此类域问题时，必须用一个虚构边界来截断，以获得一个有界的计算域，使得问题易于解决。由此就必须在这个虚构边界上引入一定的边界条件，使有限元计算域能有效的与虚构边界外延伸到无穷远处的自由空间域耦合，确保场的唯一性。
1有限元-边界积分公式
图1给出了一个导体柱任意截面的涂敷目标几何模型。以涂虚构边界Γ将求解域划分为内外两部分，此虚构边界可以和涂层边界重合。其中内边界Γc为导体边界，外边界Γd为介质涂层的边界。εr（x，y），μr（x，y）分别为涂层的相对介电常数和磁导率；n表示导体边界和涂层边界的外法向单位矢量；Ω为导体边界Γc和虚构边界Γ之间的区域，场可以通过有限元法来确定；虚构边界Γ外部区域的场可以用边界积分方程来表示，内外区域的场就可以通过场的连续性条件联系起来。如图1所示，区域Ω内的总场ψt满足下列标量波动方程：?塄・■?塄ψ■+k■■β■（x，y）ψ■=0（1）
对方程（1）两端同乘以一个检验函数T（x，y），并在Ω域内进行积分，然后利用矢量恒等式和散度定理得到如下方程：
■?塄T・?塄■ψ■-k■■β■（x，y）Tψ■dxdy= ■T?塄Ψ■・■dΓ（2）
对TM极化，α■（x，y）=μ■（x，y），β■（x，y）=ε■（x，y），ψ■=Ez；对TE极化，α■（x，y）=ε■（x，y），β■（x，y）=μ■（x，y），ψ■=Hz。
首先将Ω域划分成M个小三角单元，共有N个结点，相应的虚构边界Γ被分成Ms个小线段，对式（2）进行有限元离散，根据文献[3]，得到有限元方程组：[K][C]=[D][U]（3）
其中，[K]是N×N方阵，[D]是N×Ms矩阵，[C]表示N个结点处未知电场或磁场值的列向量，[U]表示在Ms个边界结点处法向导数值的列向量。此方程组含有N+Ms个未知量，N个线性方程，因此，另外Ms个方程要通过边界积分方程的离散而得到。
这里引入虚构边界，在虚构边界之外使用边界积分方程来表示场。在虚构边界Γ之外的区域里，场ψt可由亥姆霍兹方程：
?塄2ψt（ρ）+k■■ψt（ρ）=f（ρ）ρ∈Ω∞（4）
来确定。为了导出总场的公式，需要引入自由空间格林函数G0，并应用第二格林标量定理，得到边界积分方程：
Ψ■（ρ）=Ψ■（ρ）- ■?塄Ψ■・■G■（ρ，ρ′）dΓ′+ ■Ψ■?塄G■（ρ，ρ′）・■dΓ′（5）
对上式离散得：[K][C]-[D][G]-1[H][C]Γ=[D][G]-1[γ]C（6）
求解式（6），可得到所有结点场（包括虚构边界上的场）以及边界场的法向导数在每个边界结点上的值。 一旦求出了结点场以及边界场的方向导数，就可以计算出边界外部任何位置的散射场及RCS。
2数值算例
图2（a）是涂层金属圆柱TM极化的双站雷达散射截面仿真图。圆柱半径为a=1.0λ；人工边界为圆形边界，半径为1.5λ；涂层的相对介电常数和磁导率为：εr=2.0，μr=1.0。与图2（b）对比，结果与文献[4]的分析基本吻合。
3结论
本论文使用由边界积分方程构造的有限元技术来分析涂有雷达吸波材料的二维导体柱的散射特性。文中采用标量亥姆霍兹方程作为有限元部分的场控制方程，有效提高了有限元公式的通用性，使有限元方法能够分析、设计包含导体和材料尖角的二维目标电磁散射特性；同时边界积分方程可以自动满足辐射条件。因此，该方法在分析复杂介质散射特性时有很大优势。
参考文献：
[1]阮颖铮等编著.雷达截面与隐身技术.国防工业出版社，1998.
[2]庄钊文，袁乃昌编著.雷达散射截面测量－紧凑场理论与技术.国防科技大学出版社，2000.
[3]M.D.Deshpande，C.R.Cockrell，C.J.Reddy, Electromagnetic Scattering Analysis of Arbitrarily Shaped Material Cylinder by FEM-BEM Method. NASA Technical Paper. July 1996:4-8.
[4]A. McCowen， J. A. R. Macnab and M. S. Towers, FEM modeling of electromagnetic scattering from 2D RAM-coated objects, Antennas and Propagation Society International Symposium, 1992. AP-S. 1992 Digest. Held in Conjuction with: URSI Radio Science Meeting and Nuclear EMP Meeting., IEEE 18-25 July 1992 Page(s):520 - 523 vol.1
[5]金建铭，王建国，葛德彪. 电磁场有限元方法. 西安电子科技大学出版社，1998.