四个易混淆的极限

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摘 要：本文较详细的介绍了四个极限的求值方法与原理，并对其进行归类.通过举例加深对原理和方法的掌握。

关键词：极限;第一重要极限;无穷小;有界函数

一、引言

高数的极限学习过程中，一般都会碰到这几个极限的求值问题： 、 、 xsin 、 xsin ，这四个极限在表达形式上有的大同小异，有的又完全不一样，所以很多学生在求值的过程中就很容易混淆，甚至不知道到底有什么区别.本文分别介绍四个极限的求值过程、求值原理、以及与这四个极限相联系的其他例题的求解，让学生对求相关极限有较深层次的理解和掌握.

二、四个极限

1、 与 xsin 是高等数学教材上两个重要极限之一，求值过程中用到夹边准则、用到单位圆的图形中相关三角形与扇形面积关系的不等式，这里不再重复求解了，大家都应该都知道 =1，再给大家介绍另外一种求值方法，在学过洛必达法则之后，这个极限可以通过洛必达法则来求：分析：洛必达法则的三个条件都满足，所以 = =1求出的值也与通过夹边准则求出来的是完全吻合的.这个重要极限的扩展形式也非常重要，当x0时，有 0，即： =1 。 （扩展形式必须满足两个条件：（1）x0，（2）分子分母上的保持 一致 ）。这个重要极限的值以及它的扩展形式在高等数学的学习过程中非常重要，一定要牢记。

xsin 与 表达形式上不同，实质上还是一样的，只是做了一下变形，对x的位置作恒等变化后得： xsin = ，当x∞时， 0，这刚好是第一个重要极限的扩展形式，所以 xsin =1

2、 xsin 与

对于 xsin ，当x0时，xsin 中x0，sin 在-1与1之间取值，sin ，即sin 为有界函数，无穷小的性质中有无穷小乘有界函数仍为无穷小，所以 xsin =0

对于 ，与 xsin 的求值过程很类似，只需做一个小变换即可。

= sinx ，当x∞时， 0，为无穷小，sinx为有界函数，同样的原理得 =0。

综上所述可得： = xsin =1（重要极限及其扩展知识）。

xsin = =0（无穷小乘有界函数仍为无穷小）。

三、应用举例

为了更好的熟练和理解上述求值过程中用到的知识点，下面通过举例来巩固。

例1、求

解： = （1- ）=1-1=0

例2、求

解： = = =0

例3、求 （x-1）sin

解： （x-1）sin = =1

三个例题中用到了重要极限的结论及扩展形式，用到了无穷小乘有界函数仍为无穷小的知识.

小结：对于上述知识还应多看，多理解，多练习才能熟练掌握。在高数的学习过程中要学会归纳记忆和理解，分门别类，这样才能掌握得更好，理解得更透彻。

参考文献：

[1] 同济大学应用数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2000：76-85.

[2] 周志燕，程黄金.高等数学[M].东北大学出版社，2014：26-30.