钟表中的方程

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北师大版七年级上册第五章《一元二次方程》，其主要知识是一元二次方程的解法与应用，其中解法是基础，应用是重点，它与老教材的突出区别是重视实际应用。教材第三节专门介绍了日历中的方程，通过本人的教学实践发现，学生对此类知识兴趣浓厚，因而学习起来非常顺利。本文将主要介绍钟表中的方程，以期和同仁交流切磋。

钟面上的时针、分针、秒针之间每时每刻都组成一个具有一定度数的夹角，这些夹角的度数与时刻之间有着极富趣味的数量关系。下面就让我们走近钟表，解读时刻，探讨钟表中的奥妙。

一、分针与时针重合的时刻

例1：分针与时针在四点几分重合？

分析：有关时针与分针的问题，我们都可以看成是环形问题。本题可看成是“时针和分针从圆周的不同地、同时、同向出发的追击问题”。把它们所走的路程转化为所转过的角度，问题就可用几何中角的有关知识去解决。4时时，时针与分针的夹角为4×30°=120°，于是当两针重合时，分针比时针多转了120度。

若设分针与时针在4时x分重合，则分针走了 6x度，时针走了 0.5x度，由题意可列方程6x-0.5x=120，解得x= ，故分针与时针在4时分重合。

总结：事实上，时针与分针每隔一段时间都要重合一次。若设时针与分针每隔x分重合一次，则在此时间内分针比时针多走一圈，因此可列方程6x-0.5x=360，解得x=，即时针与分针每隔分重合一次，故12小时内，时针与分针共重合11次。一般地，若设时针与分针在a时x分重合，由题意可列方程6x-0.5x=30a，解得x= ，故分针与时针在a时分重合。

二、分针与时针成一条直线的时刻

例2 ：分针与时针在2时几分成一直线？

分析：跟例1解题思路相似。2时时，时针在分针前且夹角为2×30°=60°。当分针与时针成同一直线时，分针要走在时针前，且夹角为180°，于是分针比时针多转了60°+180°=240°。若假设分针与时针在2时x分成一直线，则分针走了6x度，时针走了0.5x度，由题意可列方程6x-0.5x=240，解得x=43，故分针与时针在2时43分成一直线。

例3 ：分针与时针在8时几分成一直线？

分析： 跟例2解题思路相似。8时时，时针在分针前且夹角为8×30°=240°。当分针与时针成一直线时，时针仍在分针前，但夹角为180°，因此分针比时针多转了240°-180°=60°。若设分针与时针在8时x分成一直线，则分针走了6x度，时针走了0.5x度，由题意可列方程6x-0.5x=60，解得x=10，故分针与时针在8时10分成一直线。

总结：事实上，时针与分针每隔一定时间都要成直线一次。若设时针与分针每隔x分成直线一次，则在此时间内分针比时针多走一圈，因此可列方程6x-0.5x=360，解得x=，即时针与分针每隔分成直线一次，故12小时内，时针与分针共成直线11次。一般地，若设分针与时针在a时x分成一条直线，当a6时，由题意可列方程为6x-0.5x=30a-180。

三、分针与时针垂直的时刻

例4 ：分针与时针在3时几分垂直？

分析： 跟例1解题思路相似。3时时，时针在分针前且夹角为3×30°=90°。当分针与时针垂直时，分针在时针前，且夹角为90°，因此分针比时针多转了180°。

若设分针与时针在3时x分成一条直线，则分针走了6x度，时针走了0.5x度，由题意可列方程6x-0.5x=180，解得x=32，故分针与时针在3时32 分垂直。

例5 ：分针与时针在4时几分垂直？

分析：跟例4解题思路相似。4时时，时针在分针前且夹角为4×30°=120°。当分针与时针第一次垂直时，时针仍在分针前，且夹角为90°，因此分针比时针多转了30°。若设分针与时针在4时x分第一次垂直，则分针走了6x度，时针走了0.5x度，由题意可列方程6x-0.5x=30，解得x=5，故分针与时针在4时5分第一次垂直。

4时时，时针在分针前且夹角为4×30°=120°。当分针与时针第二次垂直时，分针在时针前，且夹角为90°，因此分针比时针多转了210°。若设分针与时针在4时x第二次垂直，则分针走了6x度，时针走了0.5x度，由题意可列方程6x-0.5x=210，解得x=38，故分针与时针在4时38分第二次垂直。

总结：事实上，时针与分针每隔一定时间都要垂直一次。若设时针与分针每隔x分垂直一次，则在此时间内分针比时针多走半圈，因此可列方程6x-0.5x=180，解得x=，即时针与分针每隔分垂直一次，故12小时内，时针与分针共垂直22次。

容易知道，3点和9点时，时针和分针垂直，因此，2点和3点之间，3点和4点之间，8点和9点之间以及9点和10点之间，均有一个时刻时针与分针垂直;4点和5点之间，5点和6点之间，6点和7点之间，7点和8点之间，10点和11点之间，11点和12点之间，12点和1点之间，1点和2点之间，分别有两个时刻分针与时针垂直。有兴趣的同学可以分别求出这22个垂直的时刻。

同样的分析方法，你还可以分析出秒针与分针、秒针与时针每隔多少秒都能垂直一次，重合一次，成一条直线一次，有钻研精神的同学还可以将以上题型加以推广，例如：时针与分针在2点几分夹角为60°？因版面限制，不再赘述。有兴趣的同学可以继续探究。

（作者单位：牛胜军 山东省沂水县沂新中学;马艳梅 山东省沂水县第一中学）