关于条件概型教学的几点建议

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为导出二项分布,需要条件概率和事件的独立性的概念。条件概率是比较难理解的概念,在概率论中占有十分重要的地位。而教科书中只是简单地介绍了条件概率的初等定义,这为学生的学习和教师的教学带来了很多的不便。故在教学的过程中,教师应采用一些策略性的处理。

一、以实例为背景,理解定义

问题一:三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小?

我们不妨用X1,X2,Y表示3张奖券,其中Y表示中奖奖券,列出抽奖结果为: X1X2Y, X1YX2, X2X1Y, YX1X2,YX2X1设“最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B,则P(B)= =,与第个同学中奖的概率相等。

问题二:若已知第一名同学没有中奖,则最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?

不妨设“第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A,即X1X2Y, X1YX2, X2X1Y, YX1X2,YX2X1, 则n(A)=4,又有X2X1Y,X1X2Y则n(AB)=2,所以P(B|A)= = = ①

问题三:P(B|A)与事件A和B的概率有什么关系呢?

设n(Ω)表示试验的全部结果,则

P(AB)=,P=,

则①式可写成P(B|A)= ②从而我们由实例层层递进,得到了条件概率的公式。

二、以习题为平台,巩固定义

在公式的运用过程中,如何确定n(A),n(AB)是学生的难点,我们可以让学生在实际运用中体会找n(A),n(AB)的方法。

例1:5个乒乓球,其中3个新的2个旧的,每次取一个不放回地取两次,求在第一次取到新球的条件下,第二次取到旧球的概率。

设第一次取到新球为事件A,第一次取到新球第二次取到旧球为事件B。

学生的典型错误是:n(A)=A13,n(AB)=A12,错误的根源是对事件A和AB的理解。

教学过程中,创设情境:怎样就完成了事件A和AB?学生通过研究讨论,发现丢掉了完成事件的环节。故n(A)=A13A14,n(AB)=A13A12

在例1的基础上,我们再给出一个稍难的例题:

例2:一个箱子中装有2n个白球和(2n-1)个黑球,一次摸出n个球,求:在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率。

学生通过合作探究,很快得到答案:

解:设颜色相同为事件A,颜色相同且为白色为事件AB,

(方法一)则n(A)=Cn2n+Cn2n-1,n(AB)=Cn2n,所以P(B|A)==,

(方法二)则n(Ω)=Cn4n-1,n(A)=Cn2n+Cn2n-1,

n(AB)=Cn2nn P(A)== P(AB)== 所以P(B|A)==

三、以对比为手段,优化方法

条件概率有两种运算方法,在解题时,应如何取舍呢?我们不妨引导学生对比例2的两种解法。很快学生会发现方法一比方法二简洁。教师马上引导学生总结:在两种方法都能用的情况下,优先P(B|A)=。

不妨再给出一个例题:

例3:某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。

引导分析:活到20岁的概率为0.7,指的是P(A),活到25岁的概率为0.56,指的是P(AB)。

故P(B|A)=用求解更简单了。

任何一种方法,都不是孤立存在的,方法与方法之间总有一定的联系和区别,学生能把方法进行比较,把握他们的联系和区别,就能加深对它们的理解,才能灵活在在解题中应用。

四、教学反馈

在新授前检查了学生的导学案,导学案中我们设计了7道题,大部分同学只做对了1~2个题,可见学生对条件概率的理解是相当吃力的。新课后,我们进行了一次限时训练:15分钟完成3道条件概率题,正确率达到了85%。其中:(2011年湖南理科)15.如图4,EFGH 是以O 为圆心,半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”, B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴C影部分)内”,则(1)P(A)=_______

(2)P(B|A)=_________的正确率达到了90%以上。

教学是一个不断总结与反思的过程,只有通过不断的总结反思再应用,再反思,我们才能一步一步成为研究型的教师。上述只是笔者很肤浅的体会,但是我会坚持,因为只有不断地反思提炼,发现问题,研究问题,学会教学,我们的课堂才会永远沐浴在时代的春风中,我们的课堂也才会真正成为师生生命灿烂的乐园。

(作者单位:湖南省醴陵第四中学)