数形结合找规律

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【设计理念】

小学生的思维发展特点是从具体形象思维为主要形式逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，养成多向性思维的好习惯，甚至为学生初步形成辩证思维能力创造条件。鉴于此，笔者尝试开展了“数形结合找规律”思维训练课的设计、教学与研究。

【教学目标】

1． 让学生在生动有趣的活动中观察、寻找图形的特点，结合图形从不同的角度观察得出不同的数学规律。

2． 应用“数形结合”，训练和培养学生数学直觉思维能力、发散思维能力和创造性思维能力。

3． 通过以形助数的直观生动性，体会数形结合，感受数学的趣味性。

【教学过程】

一、 导入

师：同学们有没有学过这样一首诗？（师出示《题西林壁》这首诗：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。）这首诗什么意思？（从不同角度看庐山，庐山的模样各不相同）

师：其实在数学学习中也是如此，对待同一个问题，如果从不同角度去观察、去思考，得出的结论、规律也会不同。

（设计意图：从学生比较熟悉的古诗导入新课，非常简明。以此迁移到数学学习中也要善于从不同角度观察和思考问题，为后面新知的学习作了铺垫。）

二、 新授

师（依次出示图1、图2、图3）：分别说说是由几个小圆点组成的。想象一下图4会是什么样子的？一共有多少个圆点？

师：你是怎么想到图4会有16个小圆点的？仔细观察这组图，你还有什么发现呢？（生畅谈自己的发现）

师：同学们不仅能用一个数表示每幅图的圆点数，而且还能用算式来表示这组图的规律，真了不起。根据这个规律，想一想第5个图形是怎样的？一共有多少个圆点？第8幅图呢？第100幅图呢？第N幅图呢？

师：通过刚才的观察，我们发现每幅图的圆点总数都可以看做是两个相同的数相乘的积，这些算式还可以用平方数的形式来表示。那刚才我们是怎样观察的？（横着观察的）

（设计意图：数形结合方法之一是借助“形”的生动和直观性认识“数”。通过观察前3个图，使学生从整体上了解图形的圆点排列特点；然后，通过想象图4的样子及圆点个数，进而作出大胆的猜想、合理的假设，并作出试探性的结论，训练学生的数学直觉思维能力。）

师：如果下列式子也是表示每幅图圆点的总数，那么和刚才的算式等不等？

1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42

师：仔细观察等式，左边的式子有什么特征？右边的呢？左右联系起来看，你又有什么发现？

生汇报得出：从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方。

师：要求连续奇数的和只要知道什么？下列式子你会求吗？

（1） 1+3+5+7+9+11 （2） 1+3+5+7+9+11+13+15+17

（3） 3+5+7+9+11+13+15+17+19

师小结：刚才我们对于同一组图，从不同的角度观察，找到了这么多不同的规律。同学们真了不起。其实早在2000多年前，古希腊的数学家们就是借助这些小圆点，找到了这些规律。

师：我们再回忆一下，刚才是怎样找到这些规律的？和什么结合起来找的？（揭题：数形结合找规律）数形结合是一种特别重要的数学思想方法。我国著名数学家华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。什么意思？希望同学们在以后的学习中经常使用数形结合的思想方法，可以用来解决一些实际问题。

师出示：（1） 1+3+5+……+99

（2） 2+4+6+……+998

解决第（1）题的关键是什么？怎样确定奇数的个数呢？

第（2）题有什么特征？连续偶数的和如果与连续奇数的和一样有规律那就好了，想不想研究？

（设计意图：引导学生主动而有效地观察图形，培养学生从图中读懂重要信息，并整理信息，提出问题、分析问题、解决问题的能力，养成自主探索、自我评价、合作交流的学习习惯，增强对数形结合思维模式的认知，体会图形对数学规律形成的意义。引导学生经历观察、操作、归纳、类比、猜测等过程，发展合情的推理能力，运用发现的规律解决数学问题并进行交流；体会图形发现的乐趣，初步感受图形的美和推理的价值。）

三、 应用

1. 出示三个算式：2+4、2+4+6、2+4+6+8。你能在图５中画一画、分一分，使每幅图的圆点总数分别能用下列式子来表示吗？

2. 学生在图５的每个图中分别独立划分后反馈。

3. 如果换个角度再观察这组图，你还能用什么式子来表示每幅图的圆点总数呢？在图６一列中分一分，并用算式表示。然后分小组讨论你们的发现。

4. 反馈。得出结论：从2起连续偶数的和等于偶数个数的平方加偶数个数，即（n2+n），或等于偶数个数乘比偶数个数大1的数，即n×（n+1）。

（设计意图：教师通过这道探索性的题目，让学生去研究、探讨、发现，进行一系列探索性思维活动，以“数”解“形”，使学生更准确地把握“形”，将已有的思维方式大跨度地迁移，进而发现蕴涵在图形中的数学规律。）

四、 拓展

师：刚才这幅图换个角度去观察，还有许多神奇的规律，感兴趣的同学课后可以再去研究，并把你的发现写成一篇小论文交给老师。（学生也可能会有如下的发现）

（设计意图：以上这道题，借助“一题多解”或“一题多变”的形式，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，不断提高学生探索发现规律的能力。）

(江苏省丹阳市华南实验学校 212300）