关于Diophantine方程x3+1=3py2
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摘要: 设p是奇素数，研究丢番图方程x3+1=3py2正整数解的情况.利用初等数论的方法得到了丢番图方程x3+1=3py2无正整数解的若干充分条件.
关键词: 丢番图方程；同余；正整数解；Legendre符号
中图分类号:O156.1
文献标识码:A文章编号:1672-8513(2010)06-0464-02
On the Diophantine Equation x3+1=3py2
HAN Yunna, LIANG Yong
(Department of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127, China)
Abstract: Let p be an odd prime, this paper studies the positive integer solutions of the Diophantine equation x3+1=3py2. The use of the elementary number theory helps obtain some sufficient conditions for the Diophantine equation x3+1=3py2 without integer solution.
Key words: Diophantine equation; congruent; positive integer solution; Legendre symbol
丢番图方程x3+1=Dy2(D>0且不含平方因子)，是一类基本而又重要的Diophantine方程［1］，当D无6k+1型素因子时，其全部解已由柯召，孙琦，曹珍富［2-3］等得到，但当D有6k+1型素因子时，方程的求解比较困难.1991年，曹玉书，郭庆检［4］给出了D含有6k+1型素因子时，方程x3+1=Dy2无正整数解的一些充分条件.邓谋杰，郭伟艳［5］等给出了当D含有6k+1型素因子时且含有8k+1和8k+5型素因子时，方程x3+1=Dy2无正整数解的若干充分条件. 谷杨华［6］证明了不定方程x3+1=266y2仅有整数解(x,y)=(-1,0)；x3+1=133y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(5,±1).文献［7］证明了Diophantine方程x3+1=37y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),(11,±6). 本研究主要证明了以下一般性的结果.
1 主要结果
引理［5］ 设不定方程
Ax2-By2=1,A>1,A,B∈N有解.
η=x0A+y0B是方程的最小正整数解，则方程的全部正整数解x,y可由下式给出
xA+yB=(x0A+y0B)n， 其中2 n.
定理 若p都是奇素数，则对于丢番图方程
x3+1=3py2(1)
当p为以下情况之一时：
(i) p=3(12k+3)(12k+4)+1，且24k+7为素数;
(ii) p=3(12k+5)(12k+6)+1，且24k+11为素数;
(iii) p=3(12k+6)(12k+7)+1，且24k+13为素数;
(iv) p=3(12k+8)(12k+9)+1，且24k+17为素数;
其中，k为非负整数，则方程(1)无正整数解.
2 定理的证明设方程(1)的整数解为x,y.x>0,y>0，根据Fermat小定理可知x3x(mod 3),
故从(1)式可得x+10(mod 3),此时gcd(x+1,x2-x+1)=3，
并且根据文献［2］中结果的证明从(1)可得
x+1=9a2； x2-x+1=3pb2.(2)
由(2)可得
3(6a2-1)2+1=p(2b)2(3)
从(3)式可知(X,Y)=(2b,6a2-1)是方程
pX2-3Y2=1,X,Y∈N+(4)
的一组解.
现对上述p的4种情形分别讨论：
(i)当p=3(12k+3)(12k+4)+1，则(2,24k+7)是方程(4)的解，且是最小正整数解. 否则，
令(1,y)是方程(5)的最小正整数解，则
y2=p-13=(12k+3)(12k+4),
因为gcd(12k+3,12k+4)=1，所以有y1,y2>0，使得12k+3=y21，12k+4=y22.从而y22-y21=1，这是不可能的.故(1,y)不是方程(5)的最小正整数解.因此(2,24k+7)是方程(4)的最小正整数解.
根据引理可知
2bp+(6a2-1)3=(2p+(24k+7)3)t 其中t是正奇数(5)
由(5)式得6a2-10(mod 24k+7), 即(6a)26(mod 24k+7),而模(24k+7)的Legendre符号(624k+7)=-1.所以情形Ⅰ无正整数解.
(ii) 当p=3(12k+5)(12k+6)+1，则(2,24k+11)是方程(5)的解，且是最小正整数解.否则，令(1,y)是方程(5)的最小正整数解，有y2=p-13=(12k+5)(12k+6).
因为gcd(12k+5,12k+6)=1，所以有y1,y2>0，使得12k+5=y21，12k+6=y22，从而y22-y21=1，这是不可能的.故(1,y)不是方程(4)的最小正整数解.因此(2,24k+11)是方程(4)的最小正整数解.根据引理可知
2bp+(6a2-1)3=(2p+(24k+11)3)t, 其中t是正奇数.(6)
由(6)式得 6a2-10(mod 24k+11)即(6a)26(mod 24k+11)而模(24k+11)的Legendre符号(624k+11)=-1,所以情形Ⅱ无正整数解.
类似可证(iii)，(iv)亦无正整数解.
参考文献:
［1］
MORDELL L J. Diophantine equations ［M］.London: Academic Press, 1969.
［2］曹珍富,丢番图方程引论［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社,1989:210,260,273.
［3］柯召,孙琦.谈谈不定方程［M］.上海：上海教育出版社,1980.
［4］柯召,孙琦.关于丢番图方程x3+1=3Dy2［J］.四川大学学报:自然科学版,1989(2):1-5.
［5］邓谋杰,郭伟艳,佟盛琳.关于丢番图方程x3±1=Dy2［J］.哈尔滨师范大学学报:自然科学版,2003,19(3):22-23.
［6］谷杨华.关于丢番图方程x3+1=266y2和x3+1=133y2 ［J］.云南民族大学学报:自然科学版,2009,18(4):305-309.
［7］刘杰.关于diophantine方程x3+1=37y2［J］.云南民族大学学报:自然科学版,2008,17(4):308-310.