全等三角形课程难度变化分析及其对教学的指导
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摘 要：三角形在初中几何中是最基本的图形，在我国初中数学课程体系中有着非常重要的作用。其中，全等三角形部分又是衔接初等几何和高中几何的一个重要知识点，起着承上启下的作用。本文借助史宁中教授的课程难度量化分析模型N=aGT+（1-a）S/T，对我国2011年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）与2000年《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称《大纲》）中“全等三角形”的内容难度进行对比分析，以此考察初中几何课程、教学内容的发展变化，希望对于我国基础教育课程改革提供一些启示。
关键词：课程难度;课程深度;课程广度;全等三角形;教学指导
一、背景
相比较代数，初中几何是直观且容易被学生接受的内容。其中，“全等三角形”这一内容，从新课程改革前就是初中几何的重要内容，线段、角、相交线等与三角形有关的知识和一些简单的说理内容，为全等三角形的学习奠定了基础，并且在今后学习等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线甚至四边形和圆等平面几何内容中，都要通过证明两个三角形全等来判断角与线段之间的关系，从而解决问题。本文借助史宁中教授的课程难度量化分析模型N=aGT+（1-a）S/T（1）（N表示课程难度，G表示课程广度，S表示课程深度，T表示课程实施时间），对我国2011年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）与2000年《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称《大纲》）中“全等三角形”的内容难度进行对比分析，以此考察初中几何课程、教学内容的发展变化，希望对于我国基础教育课程改革提供一些启示。
二、难度量化比较
1.课程广度
对比《大纲》，《标准》中全等三角形新增加的知识点有：理解全等三角形的定义，运用定义判断两个三角形是否全等。查阅得出，《标准》和《大纲》的知识点数可得出相应的广度系数，取《标准》综合的课程广度系数G1=10，取《大纲》综合的课程广度系数为G2=9。
2.课程深度
对比《大纲》，《标准》中全等三角形深度有所增加。例如：对于全等三角形的概念，从了解到理解;对于直角三角形全等的判定，从理解到掌握，并灵活运用。综合深度赋值表，取《标准》的课程深度S1=24，《大纲》的课程深度S2=22
3.课程时间
分析《标准》《大纲》中全等三角形知识点的课程实施时间得知，两者基本相同。查阅两者中全等三角形的课程内容完成的所需时间可知，取《标准》的课程实施时间T1=11，《大纲》的课程实施时间T2=10
4.难度比较
基于前面三个方面得出的数据，代入课程难度模型（1），可以得到《标准》《大纲》的课程难度分别为N1=1.42，N2=1.48（其中a=0.6，）。显然，在这个模型下，《标准》中全等三角形知识的课程难度比《大纲》中的低0.06。
三、教学启发
分析上述表格的数据可以发现，《标准》和《大纲》中全等三角形课程广度、课程实施时间基本一致，但总体的难度有所降低。所以影响该知识点难度变化的主要因素是课程深度。下面将具体分析课程广度、课程深度、课程实施时间三方面对教师在实际教学过程的启发和指导。
1.课程广度变化对教学实践的指导
《大纲》对于全等三角形的定义只是粗略的解释，而《标准》中则增加了“理解”全等三角形的定义这一内容，这表示更加重视了关于数学中的重要概念、定义方面的理解，也是新课标重大改革的新体现。因此，教师在广度变化中，也要通过一定的教学方式，让学生体会数学概念的形成过程。全等三角形是新章节的开始，内容不仅是七年级中段、角、相交线等与三角形有关的知识内容的延续，并且为今后学习等腰三角形、直角三角形、甚至四边形和圆等平面几何内容，通过证明两个三角形全等来判断角与线段之间的关系打下基础。因此，对本节内容的深刻理解，能使得教学内容连贯性更强，学生的思维得以拓展。
2.课程深度变化对教学实践的指导
对比《大纲》和《标准》，课程深度的不同体现在以下两个方面：
（1）对全等三角形概念的要求，从了解到理解
由于生活中并不缺乏大小形状相同的图形，教师在教学过程中，将这些生活上的图形带入课堂引出全等形，进而引出全等三角形及其对应元素这些核心概念，然后通过多媒体直观演示图形的平移、翻折、旋转，使学生从中初步体会图形变换的思想，逐步培养学生利用动态研究几何的意识，进而理解全等三角形的性质。然而，由于学生在图形识别能力上还处于初级阶段，所以要求学生会确定全等三角形的对应元素也就成了有待突破的难点。
（2）对于直角三角形全等的判定，从理解到掌握，并灵活运用
即相对于《大纲》，《标准》中对直角三角形的全等判定更为重视，直角三角形是特殊的三角形，因而拥有特殊的证明全等的办法“HL”。要提醒学生在解题过程中，注意题目中给出的“直角”这一题干说明，并结合前面的四种一般三角形全等的证明方法来进行对比，发现有什么不同，从而让学生掌握符合自己的数学方法。教师也需要在这课程深度变化中逐步引导学生自己发现解决问题规律的方法。
此外，教师在教学过程中要注意引导学生观察题目以及图形中点、角、边之间的对应关系，从而理清楚是哪两个三角形全等，分别的对应点、对应角、对应边又是什么，让学生体会数学几何思维的形成过程，逐渐培养学生的几何思维。
3.课程实施时间变化对教学实践的指导
《标准》和《大纲》中全等三角形的课程实施时间上只相差了一个课时，这说明了两者在要求教师课堂教学时间上没有多大变化。全等三角形方面注重图形的空间想象能力和学生自主动手画图、画辅助线相结合，教师在授课时若有多余的课时，可给学生多讲解一些有关全等三角形解题方面的思路，尤其对于证明直角三角形全等这一方面的内容更要重视。这样启发教师要认真思考、设计每一节课，整个教学的流程如何布置才会比较妥当。
4.课程难度变化对教师教学实践的指导
基于以上的探究，课程广度、课程深度、课程实施时间的变化，其实反映的课程难度的变化，三者对教师教学实践的指导，主要是为了探讨课程难度的变化对教师实际教学过程有怎样的指导作用。如本文的全等三角形课程难度降低，对新课程下的教师来说，是一种新的机遇和挑战。在课程时间方面，在面对不同程度的学生时，学会运用恰当的教学方法，并在相同时间里把知识讲清。要能够激发学生的学习兴趣和积极性，逐步培养学生的数学思维能力，这是现代教育下教师要思考的问题。在课程广度方面，新课程要求教师在数学教学中要更加注重数学思维、思想、方法的结合，注重课本知识点的逻辑性、连贯性以及教学方法实施的可行性。在课程深度方面，教师要注意不同知识点对学生掌握要求的不同，从而制订不同的教学方案。
初中几何教学依旧是初中数学教学的重要内容，同时对培养学生的发现问题、剖析问题、解决问题的思维形成也有着重要的指导作用。随着新课程改革的不断推广和深入，教师也要不断关注知识点难度的变化，通过一定的手段来适应这个变化，从而让学生理解知识点，达成教学目标。
参考文献：
陈丹媛.三角形课程难度的定量分析比较[J].考试周刊，2014（99）：61-62.
基金项目：2015年度广东大学生科技创新培育专项资金项目“基于课程难度定量分析模型下的初中几何课程难度研究”（课题编号：201410578047）。
作者简介：陈剑涛（1995- ），男，广东揭阳人，韩山师范学院数学与应用数学专业学生;张磊（1981- ），男，韩山师范学院数学与统计学院教师。