关于同余方程 XP+YP+ZP0(modP2)的整数解
开篇：润墨网以专业的文秘视角，为您筛选了一篇关于同余方程 XP+YP+ZP0(modP2)的整数解范文，如需获取更多写作素材，在线客服老师一对一协助。欢迎您的阅读与分享！
[摘要]设P为素数,利用初等数论方法研究了三元同余不定方程XP+YP+ZP0(modP2)的整数解问题;证明了同余方程X3+Y3+Z30(mod9),X5+Y3+Z50(mod25),X11
+Y11
+Z11
0(mod112),X17
+Y17
+Z17
0(mod172)均无整数解,并证明了同余方程X7+Y7Z7(mod72)仅有解;17+2737(mod72);X13
+Y13
Z13
(mod132)仅有解113
+213
413
(mod132)和213
+513
+613
0(mod132);X19
+Y19
+Z19
0(mod192)仅有解119
+719
819
(mod192),219
+319
519
(mod192),419
+619
+919
0(mod192).
[关键词]费尔马大定理 同余方程 整数解 丢番图方程
1 从费尔马猜想谈起
1637年,费尔马在《算术》第二卷第八命题――“将一个平方数分为两个平方数之和”的旁边写道:“另一方面,不可能有一个数的立方表成另外两个立方数之和,一个数的四次方表成另外两个四次方数之和。一般来说,不可能有一个更高的方幂表成另外两个相应的方幂之和。我对此命题给了一个真正的非常奇妙的证明,只是此处的空白太小了写不下。”这就是著名的费尔马猜想,可以表示如下形式。
不存在整数X,Y,Z和n,其中n>2, XYZ≠0,使得
Xn+Yn=Zn(1)
对于这个猜想,1676年卡卡维证明了n=4时成立,即丢番图方程
X4+Y4=Z4(2)
无整数解。
又因为任何一个大于2的正整数如果不被4整除,就一定被某一个奇素数整除。因此除了证n=4成立外,还需证n是任一个奇素数P时费尔马猜想成立,那么对任何的正整数n费尔马猜想就成立,即只需证明当P为≥3的素数,即丢番图方程(3)无正整数解:
XP+YP=ZP(3)
1770年,欧拉证明了n=3时无整数解。1825年,德国数学家狄利克雷证明了n=5时无整数解;同年,法国数学家勒让德也证明了n=5时无整数解。1839年,法国数学家拉梅证明了n=7的情形。1847年,麦库证明了P
方程(3)左右取等号时是无整数解的,把等号换成同余时,方程是否有整数解呢?即同余方程:
XP+YP+ZP0(modPk)(4)
是否有整数解?下面就来研究三元同余方程
XP+YP+ZP0(modP2)(5)
1992年孙琦证明了
a1x1d1
+a2x2d2
+…anxndn
b(modpl),l≥1(6)
是有解的,并给出了解个数的渐进公式;1994年孙琦又证明了
a1x12+a2x22+…akxk20(modpn)(7)
有整数解;1995年韩清证明了
αxa+βyb+γzc0(modpn)(8)
有整数解;1996年韩清又证明了
a1x1l1
+a2x2l2
+…arxrlr
b(modpl),l≥1(9)
有解,并给出了其解数公式,从而解决了一般对角同余式的解数问题.特殊地,对于同余方程XP+YP+ZP0(mod9)方程(5)是否有解?若有解,会存在多少组解?在他们的文献里无法找到答案,本文证明了同余方程X3+Y3+Z30(mod9),X5+Y3+Z50(mod25),X11
+Y11
+Z11
0(mod112),X17
+Y17
+Z17
0(mod172)均无整数解,并证明了同余方程X7+Y7Z7(mod72)仅有解;17+2737(mod72);X13
+Y13
Z13
(mod132)仅有解113
+213
413
(mod132)和213
+513
+613
0(mod132);X19
+Y19
+Z19
0(mod192)仅有解119
+719
819
(mod192),219
+319
519
(mod192),419
+619
+919
0(mod192).
3 尚未解决的问题
本文在费尔马大定理的基础上研究了三次同余方程XP+YP+ZP0(modP2)是否存在整数解的情况。本文还未解决的问题是素数P取何数时有解,也就是如何由P来判定方程有无整数解,这有待进一步研究。
参考文献:
[1]李心灿.费尔马猜想的古往今来.北京航空航天大学学报,1994.
[2]孙琦.数学研究与评论,1995,15(4):599-601.
[3]孙琦.四川大学学报(自然科学版),1995,32(1):23-25.
[4]韩清.一般对角同余式的解的个数.系统科学与数学,1999,19(3):282-290.
[5]Han Qing. A Formula for the Number of Solutions of the Congruenceαxa+βyb+γzc0(modpn).数学进展,1995.
[6]堂煌,吴开明.从费尔马猜想谈起自然辨证法研究,1997.
[7]王云葵,李树新.关于广义Fermat猜想.哈尔滨师范大学自然科学学报,2000,16(4):13-15.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文