浅谈反例在数学教学中的功能
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【摘要】反例的特性,决定了它在数学教学中起着不可替代的作用。本文通过数学教学中的几个实例,浅谈教师要根据教学实际恰当运用反例,有利于培养学生良好的思维品质,帮助学生正确理解和牢固掌握数学知识,使课堂教学走出平淡,掀起教学波澜,收到正面教学难以达到的课堂效果。
【关键词】数学教学反例功能
【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1006-9682(2010)3-0148-02
反例就是指符合某个数学命题的条件而不符合该命题结论的例子。反例因其直观、简明、形象、生动、说服力强等突出特点,决定了它在数学教学中起着不可替代的作用。它是理解数学知识的有力工具,是纠正错误的有效方法,是强化知识的得力措施,是否定谬论的锐利武器。因此,在数学教学中适当运用反例,可收到事半功倍的效果。本文结合小学数学教学实践,就反例在教学中的功能略谈己见。
一、运用反例,帮助学生正确理解数学概念。
数学概念是整个数学宫殿的基石。因此,它的教学显得尤为重要。在概念教学中,教师不仅要运用正面的例子来深刻阐明它的本质属性,而且还要善于借助反例加深学生对概念中关键字词和本质特征的认识,以弥补正面教学的不足。
[案例]:“百分数的意义”教材上这样定义:表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。这个定义包涵两个本质特征:①分母是100的分数;②表示两数的倍数关系。如果在教学中仅是提供正例,学生往往难以正确、迅速地理解百分数的意义。为此,在“百分数的意义”教学时,在不影响完整性的前提
下,可选择鲜明对比的三个正例:①男生人数占全校的 ;②
第二季度比第一季度超产 ;③元月份完成计划的 。两个
反例:①一包味精重 千克;②女生人数是男生人数的 ,组
成正反题组。这里三个正例,传递正面的信息,两个反例,传送反面的信息。在正反材料的衬托下,学生通过观察、比较、分析与思辨,从而顺利揭示和准确理解了百分数的意义。
二、引入反例,增强学生发现和纠正问题的意识。
小学生因受年龄和认识能力的限制,在解题时常常出现这样或那样的错误。而学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正,必须是一个“自我否定”的过程,而“自我否定”又以自我反省作为必要的前提。实践证明,引入反例,让学生通过学习、讨论,可以帮助他们发现问题,分析错误的原因,找出正确的解题方法。
(案例):“分数能否化成有限小数”这一教学内容,学生往往忽略“最简分数”这一重要前提。教学中我就有意设计“陷阱”,强化印象。教完例题后,引导学生逐步归纳出:分母除了2和5以外,不含有其他质因数的分数能化成有限小数;否则,这个分数就不能化成有限小数。然后,我让学生回答:下列分数哪些能
化成有限小数?为什么? 、 、 、 。在上述练习的基础
上,我再让学生判断 和 能否化成有限小数。学生毫不迟疑
地作出判断:这两个分数都不能化成有限小数!这时,我并不急于纠错,而是让学生自己去验证。当学生发现通过约分化简得到
= , = ,都是有限小数时,他们发生了疑惑,想知道
自己总结出的结论为什么错了。这时教师让学生将检验猜想时能通过的分数和出现矛盾的分数分为两类,研究这两类分数的差异,从而找到修改猜想的方法。对“最简分数”这一前提学生就会印象深刻。这里的反例能够引起认知矛盾,促使学生积极思维,在认知冲突中使所学知识得以完善。
三、构造反例,使学生牢固掌握数学中的有关公式、法则、性质。
任何定律、公式或法则都有它成立的条件,离开了条件,就会犯错误。学生在学习一个新的公式、法则、性质时往往容易被表面假象迷惑,忽略其中的关键词,混淆其特殊性和普遍性,从而造成解题时以偏概全的错误,为了克服这一现象,教学中要善于构造反例,帮助学生牢固掌握其本质属性,达到正确理解、牢固掌握知识的目的。
[案例]如教《分数除法》时,反馈练习有这样一道题: ÷ ,
板演时,有个学生是这样做的: ÷ = = ,即像分数
乘法法则那样用分子除以分子,分母除以分母,对于这种情况,我没有急于表态,而是让学生讨论。全班交流时,有的学生说“计算分数除法时,必须按计算法则做,即甲数除以乙数(0除外),等于甲数乘以乙数的倒数。这结果正确纯属巧合,应判为错误。”但有些同学进行了反驳,说这种计算可以,并用除法的验算方
法进行了验证: × = ,说明算法正确。并列举“ ÷ 、
÷ ”进行验证。针对这种情况,我出示“ ÷ ”等题,
让同学明白,上述算法不灵了。从而师生共同得出“分数除法法则”是具有普遍意义的,对于分子除以分子,分母除以分母能整除的分数除法就可以用这种简便算法。通过运用反例,使学生进行一步明白了算理,使学生心目中似是而非的问题得到澄清,真理得到了坚持,错误得到了修正。
[教学片段]学习“圆锥体积”学生:圆锥体积等于圆柱体
积的 。
(学生回答后,教师默不作声,随手在黑板上画出图1)
师问:你能说这个圆锥的体积等于圆柱体积的 吗?
面对此图,全班同学面面相觑,很快恍然大悟,明白了错误所在。教师相机启发,“刚才的结论该怎么补充才对呢?”教师用彩色笔添上“等底等高”。这样,巧用夸张幽默的手法,强调了“等底等高”这一重要条件,使学生在反思中记忆深刻、牢固。
四、巧用反例,加深学生对数学知识正确、灵活的运用。
学生在学习数学知识时,经常会忽略这些知识的适用范围,使用时不注意分析具体条件,而生搬硬套,形成狭隘片面的解题定势,铸成错误。因此,在教学中不仅要学生讲清有关知识的适用条件,而且要适当巧用一些反例,加深他们对反学知识的见解,达到灵活运用的目的。
[案例]:在求长方体、正方体、圆柱体的表面积时,针对学生忽视具体情况(如,是否有盖),设计这样的题目:一个玻璃鱼缸的形状是正方体,棱长是3分米。制作这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米?
教师先问:求长方体的表面积的一般方法是什么?通过这一问设置思维障碍。学生在做题时,相当一部分学生会受这一问的影响,列成3×3×6来计算。这时教师问:“鱼缸如果有盖会造成怎样的后果呢?”促使学生在这一问中“为之一震”,发现错误所在,逐步养成他们审题耐心细致,解题认真严谨的习惯。起到强化刺激作用,达到“吃一堑,长一智”的目的。这样,打破了学生头脑中单一、固定的解题定势,明白了应联系日常生活实际情况来解题,从而提高了学生解题能力。
五、利用反例,提高学生否定错误命题的能力。
经常见到许多学生通过类比或凭直观得出一些错误的结论,甚至想当然地造出一些“定律”来,对于学生的错误,在教学中,若从正面角度讲,学生会感到模模糊糊,理解不透,甚至还会产生错误的判断。而运用反例加以否定,结果比直接指出错误更容易使学生信服。为了提高学生认识判断能力,教学应突出反例的作用,来提高学生自我否定错误命题的能力。
[案例]:在教学“轴对称图形”的概念后,我让学生找出正方形、长方形的对称轴,然后巧设陷阱,告诉学生:“平行四边形没有对称轴”。对这一错误结论,大部分同学深信不疑,但也有些学生产生了信任危机。有一个学生突然站起来反驳说:“平形四边形也有对称轴”。我没有简单地否定学生的回答,而是和颜悦色地对他说:“你能说说为什么吗?”学生回答说:“老师您以前讲过,长方形、正方形、菱形也是平形四边形,所以特殊的平行四边形也有对称轴。”该生这样说,全班同学的热情高涨起来。我以错为契机,马上组织同不们展开讨论,相互交流,最后大家归纳得出:“一般的平形四边形没有对称轴”的结论。然后抓住机会表扬那位同学大胆陈述己见的精神,教育学生要养成认真细致的好习惯。这样利用反例由果溯因,化误为正,有助于学生个性的发展,使学生乐思、巧思、善学,真正成为课堂上的主人,收到了正面教学难以达到的教学效果。
由此可见,课堂教学灵活运用反例是一种教学艺术,它能点燃学生灵感火花,给课堂教学增色,使课堂教学走出平淡,掀起教学波澜,较好地展示数学教学的魅力,体现教师的主导作用和学生的主体地位,对教学起着画龙点睛的作用。教师巧妙地运用反例,热情为学生释疑,有利于发展学生思维能力,培养学生学习数学的兴趣,增强学生学好数学的信心,促使学生更好地理解、掌握数学知识,收到事半功倍的教学效果。