依数学思想方法 育数学思维品质

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[摘 要]数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，二者形态有异但本质相同，都是数学学科的核心灵魂。数学学习中增强数学思想方法的渗透与濡染，可以很好地促进学生思维品质的发展，培育学生数学的理性精神。

[关键词]数学思想方法 数学思维 理性精神

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）08-008

数学思想是蕴涵于数学知识和内容之中，又高于具体知识和内容的一种理性认识，是对数学对象本质属性及其联系的深刻揭示。如果说书本中的数学知识是一种能够用语言表达的显性知识，那么数学思想及其方法就是一种隐性知识，其指导作用的发挥需要结合具体的发现和提出问题以及分析和解决问题的过程。小学生学习数学，不同于专业的数学研究，其重点落在对数学思想方法的感受、领悟和初步的运用，而感受、领悟和初步的运用过程，就是一种意识、观念、素质的萌芽和发展过程，从这一点来看，感悟数学思想方法和培育思维品质具有内在的统一性。

一、抓数学思想方法，促思路多向开放

在数学学习中，很多时候要改变已习惯了的思维定式，从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决。从认知心理学的角度来看，小学生在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征，往往难以摆脱已有的思维方向，也就是说学生个体（乃至于群体）的思维定式往往影响了对新问题的解决，以至于产生错觉。解决这样的问题，可以将学习置于“数学思想方法”的角度来展开，可以让学生的思维变得更加清晰、有序、优化。

比如，在教学2、5、3的倍数的特征时，第一节课先讲了2的倍数的数的特征是“个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数”。5的倍数的数的特征是“个位上是0或5的数，都是5的倍数”。接下的第二节课要讲3的倍数的数的特征是“一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”。显然，这两类特征在思维上具有跳跃性――“个位上的数字”与“各位上的数字的和”。受负迁移的影响，研究3的倍数特征时，学生很容易想到“一个数的个位上是0、3、6、9的数是否也是3的倍数呢？”有学生会想到33、36、60、99等一些数，还有学生自然想到了40、13、26、59等另一些数，并得出结论：一个数个位上是0、3、6、9的数不一定是3的倍数。

上述学习过程，知识层面的东西学生很容易掌握，但是，蕴含其中的更为重要的是“反证”的论证方法。因此，教师应该及时让学生对这种方法进行适度的概括提炼，产生“要证明一个结论不成立，只要找出一个反例即可”的判断思维。

继续延伸下去：在4、6、8、10、15、18、25、26、30这些数中，哪些数是2的倍数？哪些数是5倍数？哪些数既是2的倍数又是5的倍数？学生在思考后，尝试将相应的数填入圈中（图1，左边的圈里填2的倍数，右边的圈里填5的倍数），那两个圈相交的部分填哪些数呢？学生会发现这一部分填的既是2的倍数，又是5的倍数，就形成了图2。这里渗透的是数学中的集合思想，尤其是交集――相交的部分同时要具有两个集合的特征的集合思想。让学生进一步在研究特征的基础上进行更有深度的思考，从而得到：同时满足两个要求的元素，才可以成为共同元素。

二、抓数学思想方法，促思维灵活变通

小学数学是一个多层次、多方面的知识体系。让零散的知识串联成体系的大多是数学的思想和方法。以几何图形的教学为例。教学“平行四边形的面积”时，我们启发学生运用割补的方法，把计算平行四边形的面积转化为学过的计算长方形的面积，这是渗透数学思想方法――“转化思想”的大好时机。实际上在小学课本中，除了长方形的面积计算公式之外，其他平面图形的面积计算公式都是通过原来的图形转化得到的。

延伸开来：如图3，大正三角形的面积是28平方厘米，求小正三角形的面积。

图3中大、小正三角形的面积关系很难看出，若将大正三角形“旋转”一下，就变成图4的模样，出现了四个全等的小正三角形，答案也就唾手可得：小正三角形的面积是：28÷4=7（平方厘米）。紧接着告诉学生：“通过旋转，我们把复杂图形变个形转化成简单图形，原来的问题就能解决了，变形是转化的一种方法。”

转化的思想在小学数学教学中有广泛的应用，将原图形通过旋转、平移、翻折、割补等途径加以“变形”，可使题目变难为易，求解也水到渠成。渗透转化思想，打破思维定式，对提高学生能力大有好处。

三、抓数学思想方法，促思考优化深刻

新课程把“解题策略”作为教学的一个重要部分，即通过作一些如线段图、树形图、长方形面积图或集合图来帮助学生正确理解数量关系，使问题简明直观。充分利用“形”把一定的数量关系形象地表示出来，这是数形结合思想在小学数学中的体现。

例如，一杯牛奶，甲第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就这样每次都喝了上一次剩下的一半。甲五次一共喝了多少牛奶？

此题若把五次所喝的牛奶加起来，即“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32”就为所求，但这不是最好的解题策略。此时点拨学生：“把复杂问题变成简单问题有时还需要我们画个图，换个角度，从反面思考。我们先画一个正方形（如图5），并假设它的面积为单位“1”，由图可知，1-1 / 32就为所求。”这里不但向学生渗透了数形结合思想，还向学生渗透了类比的思想。

继续延伸：1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64=1-

1 / 64=63 / 64;1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+1 / 32+1 / 64+1 / 128=1-1 / 128=127 / 128。

这时，再继续让学生计算“1 / 2+1 / 4+1 / 8+1 / 16+

1 / 32+1 / 64+1 / 128+1 / 256+1 / 512”，如果学生能很快得出结果是“1-1 / 512=511 / 512”，这就说明了在学生的头脑中已经初步形成了这种数列的概念。如果再继续加下去，结果会怎样？学生很容易得出：如果以分子是1，分母是前一个加数的分母的2倍的规律，再继续加下去，不论再加什么数，结果总是“1减最后一个加数”，并且其结果总是不超过1。

上述研究既是规律探寻，也是极限思想的渗透，能为学生将来学习极限理论、提高抽象思维奠定基础。

总的说来，数学思想方法是贯穿在数学知识、数学学习中的主轴线，没有数学思想方法就没有数学。但是，数学思想方法的渗透要自然、贴切，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际，就像著名数学家华罗庚说的：“神奇化易是坦道，易化神奇不足提。”比数学思想方法渗透更重要的是，借助于数学思想方法来优化学生的思维品质，提高数学思考的能力，进而提升数学学习的能力和数学素养。这是孕育数学理性的必由之路！

（责编 金 铃）