数与形相倚依

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摘 要：研究数量关系与空间形式是数学的主要研究内容，数与形两者没有不可逾越的鸿沟，许多代数问题，往往有着很深的几何背景，构造几何图形来解决反而比用纯代数手段更直观、更简捷，便于发挥创造力、想象力探求最优解法，从而激发学生研究数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。下面通过几个典型例题说明这一观点。

关键词：构造法；数与形；结合

例1.设x是实数，y=x-1+x+1，下列四个结论：

①y没有最大值；②只有一个x使y取到最小值；

③有有限个（不止一个）使y取到最小值；④有无穷多个x使y取到最小值；

其中正确的是（ ）

A.① B.② C.③ D.①④

解：由绝对值的几何意义可知：y=x-1+x+1表示数轴上的点x到-1和1所对应的点的距离之和，如图1。

显然，当时，这个距离之和最小且为2，故应选D。

注：本题还可以利用函数图象来解。

例2.求所有的实数x，使得x=+

解：由条件可知x>1，原方程可化为+=x，构造ABC，使AB=x，AC=，BC边上的高AH=1，如图2所示，则SABC=x・・sin∠BAC，又SABC=（+）・1=x・，sin∠BAC=1，即∠BAC=90°；

在RtABC中，由勾股定理得AB2+AC2=BC2，即x2+x=x3（x>1），所以x2-x-1=0，解得x=

例3.解方程+=13

分析：此方程若用纯代数的方法，显然很难解；若将方程变

形为：

+=13，可联想到构造直角三角形……

解：将原方程变形得+=13

故构造如图3的直角三角形，由ADE∽ABC，得=，即=，x=

例4.已知a，b，m都是正数，且a

分析一：待证的不等式可转化为b（a+m）>a（b+m），这就使我们联想到图形的面积，因此，可构造长方形来解决。

证明一：如图4，以a+m，b+m为边长作一矩形，由b>a>0，m>0，知bm>am，即s1>s3

s1+s3>s3+s2，b（a+m）>a（b+m），即>

分析二：待证的不等式可转化为a（b+m）

证明二：如图5，以a+b+m为直径作O，在直径AB上取点P，使AP=a，PB=b+m。因为b>a，所以P不是圆心，过P点作弦CD，使CD=b。设PD=x，由相交弦定理得a（b+m）=bx，x=

又因CD

例5.已知x，y，z∈（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）

分析：此题用代数方法证明比较困难，但若从结论观察，式中有3个积，而1又可看做是12，故可以构造出边长为1的正方形中几个小长方形，用面积法去证。

证明一：以1为边长作正方形，由于x，y，z∈（0，1），故在正方形的边上取点，作出小长方形（如图6），则x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）即为所求的三块小长方形面积的和，显然x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）

证明二：如图7，在边长为1的正ABC的边AC、BC、AB上分别取点D、E、F，使DA=x，EB=y，FC=z，则CD=1-x，AE=1-y，BF=1-z；

SAED+SEBF+SDFC

x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）

x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）

例6.已知a・+b・=1，求证：a2+b2=1

分析：由已知可得a，b∈（0，1），且根据a，b之间的关系可构造斜边为1，直角边为a和或直角边为b和的直角三角形，如图8所示。

证明：a・+b・=1a，b∈（0，1）

如图8，构造直径AC=1的圆及圆内接四边形ABCD，使AB=b，AD=a，则CD=，BC=

由托勒密定理（圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边的乘积和）知，AD×BC+AB×DC=AC×BDa・+b・=1×BD，

BD=1，即BD也是圆的一条直径，a2+b2=1

例7.在锐角ABC中，求证：cosA+cosB+cosC

分析：此题在检查三角函数基础上着重要求学生有解决陌生问题的能力，很多学生会陷入僵局。

证明一：如图9，作锐角ABC的高AE和CD，则两高线的交点必在ABC的内部，可证：∠α=∠EAB，所以∠CAB>∠α，故cosA

cosA+cosB+cosC

证明二：如图10，设O为ABC的外接圆，半径为R，作直径AE、BF，连EC、FC，则cos∠1=，又因为∠1=∠CAB，cosA=cos∠1=；同理sinB=sin∠2=。过F点作FGFC于F，交AC于G，因此AC>GC>FC，所以sinB>cosA；同样可得，sinA>cosC，sinC>cosB，故有cosA+cosB+cosC

例8.求证=++

分析：本题用三角变换证明，运算量大，仔细观察题目，可知四个角度成公比为2的等比数列，因此可构造一个图形，将代数问题转化为平面几何的问题来证明。

证明：构作RtABC，使∠A=12°，则∠B=78°，作AB的中垂线交AC于点D，再作BD的中垂线交AC于点E，又作BE的中垂线交AC的延长线于点F，连结BF，则∠BDC=24°，∠BEC=48°，∠BFC=84°，不妨设BC=1，则AB=，AD=BD=，DE=BE=，EF=BF==

∠ABF=∠AFB=84°ABF是等腰三角形，故AD+DE+EF=AF=AB

=++

著名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，莫分离。”事实上，有些代数问题，通过构造图形来解，常使人茅塞顿开，突破常规思维，进入新的境界，所以华先生还一语双关地告诫学生“不要得意忘形”。