魔方中的数学

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【摘 要】本文从群论的角度出发，论述了魔方的数学性质。主要讨论了群论中的概念及相关性质在魔方复原中的实际应用，并给出了魔方复原的一种方法。

【关键词】群 魔方 魔方复原

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）11-0073-02

魔方（Rubik’Cube）是匈牙利建筑师鲁比克教授发明的益智玩具，1980年在一家玩具公司的推动下走向世界，风靡全球。经过数十年的发展、演化，魔方不仅仅限于3阶，又出现了4阶，5阶，7阶……甚至出现了异形魔方。

魔方不再是一种儿童手中的玩具，更是一种休闲放松的方式和体育竞技形式，而且极具刺激性与挑战性。联系到数学方面，魔方中蕴含了群论中的许多概念及其相关性质。本文借助三阶魔方，在群论的基础上，讨论了群论在魔方复原中的实际应用。

几乎所有的人拿到一个打乱的魔方都会不由自主地尝试去复原它，也就是将同种颜色的面组合在一起。魔方复原的方法已经得到了解决，而且随着魔友越来越多，解法也层出不穷。那么复原一个魔方最少的步骤（“上帝之数”）是多少呢？这个问题困扰了科学家几十年。2010年8月，美国肯特州立大学数学家Morley Davidson和Google工程师John Dethridge揭开了“上帝之数”的神秘面纱，“上帝之数”等于20，并给出了详细的统计数据。本文不对“上帝之数”进行探讨，为了满足读者的兴趣，在文中最后给出了魔方复原的一种方法。如果想要了解更多的魔方玩法，可以参考。

一 基本介绍

三阶魔方由26块组成，分别为6个中心块、12个边块和8个角块组成，其中一种颜色的是中心块，两种颜色的是边块，三种颜色的是角块。魔方不仅仅有一种配色，目前常用的配色为白黄相对，红橙相对，蓝绿相对。魔方各个面的表示见图1。

如图1所示，用每个面的字母表示这个面顺时针旋转90°，比如L表示左面顺时针旋转90°。相反的在字母后面加“’”表示这个面逆时针旋转90°，同样的L’表示左面逆时针旋转90°。在字母后面加2表示这个面旋转180°，如L2表示左面旋转180°。

为了表示角块上的小面，用abc表示，如UFL表示上面前左方位的小面。对于边块上的小面，用ab表示，如UF表示上面前面方位的小面。

二 魔方旋转群

规定魔方转动的乘法运算，给定魔方的一个状态记为M，fg（M）=g（f（M）），其中f，g表示魔方的转动，则fg表示先对魔方进行f操作，再进行g操作。

定义1，将上面的F，D，L，R，U，B作为基本的旋转，定义G={F，D，L，R，U，B}是魔方的所有转动生成的集合。

定理2，集合G对于规定的乘法运算来说作成一个群，称为魔方旋转群。

证明：（1）显然对 f，g，h∈G，fg∈G。（2）对于给定的魔方状态M，以及前面规定的乘法，有：（（fg）h）（M）=h（fg）（M）=hgf（M）；（f（gh））（M）=（gh）（f（M））=hgf（M）。故（fg）h=f（gh），结合律成立。（3）对于给定的魔方状态M，存在一系列旋转使得魔方回到原来的状态，故单位元E是存在的。（4） R∈G，R4=E，因此R-1=R3，由于G中的元素是由{F，D，L，R，U，B}生成的，所以G中的每个元都有逆元，故逆元存在。

综上所述，G是一个群。

1.置换及其奇偶性

给定一个魔方初始状态，经过一系列旋转到达初始状态，我们称之为置换。因此，每一次旋转都可以写成一个置换，如FFRR=（DF UF）（DR UR）（BR FRFL）（DBR UFR DFL）（ULF URB DRF）。魔方还原是一个极其复杂的过程，需要大量的置换操作。对于魔方旋转群的置换，根据文献有如下性质：

性质3，两个不相连的循环置换是可交换的。

性质4，每个置换都可以写成不相连循环置换的乘积。

定义5，2-循环简称为对换，无公共元素的循环称为不相连循环。

定义6，一个置换若分解成奇数个对换的乘积时，称为奇置换；否则称为偶置换。

定理7，每个置换表成对换的乘积时，其对换个数的奇偶性不变。

定理8，如果一个处于还原状态的魔方，经过一系列的置换操作，魔方最终会被还原。

证明：略。

2.共轭

共轭是魔方复原中最常用的一种方式，特别是在解决魔方第二层中有重要的地位。

定义9，对 g∈G，ghg-1称为h的共轭元。

下面给出等价关系～的定义，对 f，g，h∈G满足以下条件的称之为等价关系：（1）反身性：f～f；（2）对称性：如果f～g，那么g～f；（3）传递性：如果f～g，g～h，那么f～h。

经过简单的证明可知，上述的共轭关系是一个等价关系，在“层先法”还原魔方中的第二层充分应用到了共轭的概念。

3.换位子

在群论中，换位子是描述元素交换性的概念，看似和还原魔方没有一点关系，但是在第三层还原中，由于前两层已经是还原状态，为了尽可能地保持原有的状态，换位子恰恰起到了化繁为简的作用。

定义10，对 f，g∈G，记 ，称为f和g的换位子。

对 f，g，h∈G，有

，即换位子的

共轭元仍是换位子。

可以在实际魔方还原中验证换位子的重要性。下面根据以上提供的性质，给出一种魔方复原的方法。

三 魔方复原

第一步：选择最喜欢的一种颜色作为底面，这里给出魔方的配色为：白色对黄色，红色对橙色，蓝色对绿色，选择白色作为底面，目标：白色十字，且每个侧面的边块和中心块是同色的。

先选择黄色面，做一个中心为黄色，边块为白色的“小花”，接着把四个小边块逐一对好侧面颜色，向下翻转180°。

第二步：还原白色底面和各个侧面的T字形。

这一步只要把白色小块放到侧面位置，将白色小块相邻的颜色放到其中心块所在的同一面，再用一个换位子就可以还原白色底面，并且各面T字形状也就随之出来了。公式为R’D’R D（见图2）。

第三步：还原第二层。

把白色面转向下，下面以红绿面为例，找到红绿边块，按如下公式进行还原。（1）U R U’R’U’F’U F；（2）U’F’U F U R U’R’（见图3）。

第四步：还原顶层为黄色十字。

在第二步还原后，黄色面会出现三种情况：（1）只有中心块为黄色；（2）顶层黄色小面构成小V形状；（3）黄色构成一字形，这三种情况只需要一个公式反复转动就可以做到黄色十字。F R U R’U’F’（见图4）。

第五步：还原黄色面。

黄色十字做成以后会出现四种情况，F U’ F’U’F U U F’（见图5）。R U’R’U’R U’U’R’（见图6）。

以下四种情况按照二后四左的摆放，即剩下两个黄色小块摆放时最远离我们的黄色面朝左后方，四个黄色块时最远离的黄色面朝左，接着按照上面的任意公式就可得到上述两种情况（见图7）。

第六步：将最后的边块归位。

如果顶层各面的两个角块不相同，将黄色面对着自己，用下面公式就可以使得某一个面的两个顶层角块颜色相同，重复这个公式可以出现各面颜色和位置都对的角，R2 D2 R’U’R D2 R’U R’之后会出现四种情况（见图8、图9、图10）。

R U’R U R U R U’R’U2 R2（见图8）。重复两次上述公式（见图8）。M2 U M2 U2 M2 U M2（见图9）。U R’U’R U’R U R U’R’U R U R2 U’R’U（见图10）。

以上不是最快的魔方还原方法，但只要多加练习也会在一分钟之内还原任意打乱的魔方。

四 魔方未解决的问题

虽然“上帝之数”已经得到解决，任意魔方均可在二十步还原，但还存在以下问题：（1）一个三阶魔方恰好在20步还原的起始状态具体有多少种排列组合？（2）一个三阶魔方恰好在N（0

参考文献

[1]〔美〕詹・诺尔斯.魔方解法[M].北京：世界知识出版社，1982

[2]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1998

[3]余江龙.魔方览胜[J].思茅师范高等专科学校学报，2011（3）：34～37

[4]朱磊.群论在魔方中的应用[D].苏州大学，2008