高职数学中极限的求法总结

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摘 要：极限理论是高等数学的基础，极限方法是深入研究函数和解决各种实际问题的基本思想方法。本文就函数极限的求法做简单的归纳总结。

关键词：极限 无穷小 洛必达法则 重要极限 左右极限

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）05（a）-0177-02

在《高等数学》这门课程中，极限是一条主线，它是贯穿始终的一个重要概念，在这里将极限的各种求法总结归纳如下。

1 利用函数的连续性求极限

（1）定义：设函数在点的某一领域内有定义，如果则称函数在点连续。

（2）定理：一切初等函数在其定义区间内连续。

例1：求

解：由于在连续，所以。

总结：这种求极限的方法又称“代入法”，只要函数在这一点连续，就可以使用这种方法。

2 利用无穷小量的性质求极限

（1）无穷小量具有如下性质：无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量。

例2：求

解：因为∞时，为无穷小量，为有界函数，故∞时，为无穷小量，所以

=0

总结：、为常见的有界函数。

（2）无穷小量与无穷大量具有如下关系：

在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；如果为无穷小，且则为无穷大。

例3：求

解：由于所以：。

3 利用等价无穷小代换求极限

（1）定理：设，

①若，则。

②若，则。

常用的等价无穷小：当时，，，，，，，，。

例4：求

解：当时，，，所以：

==0。

总结：使用等价无穷小代换可以大大减少计算量，使求极限变得简单。另外，在使用等价无穷小代换求极限的过程中要注意，等价无穷小代换只能在求极限的乘除运算中使用，而在加减运算中不能使用。

4 利用洛必达法则求极限

（1）洛必达法则（一）：若函数分别满足下列条件：

①；

②在点的左右近旁可导，且：；

③存在（或为），则：。

例5：求

解：这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。由于，所以：

==1。

（2）洛必达法则（二）：若函数分别满足下列条件：

①；

②在点的左右近旁可导，且；

③存在（或为），则：。

例6：求

解：

总结：洛必达法则式求型和型极限非常重要的方法，需要注意的是只有在存在时才能使用洛必达法则，否则法则失效。

5 利用二个重要极限求极限

（1）第一个重要极限：。

例6：求

解：

（2）第二个重要极限：。

例7：求

解：=

。

6 利用左右极限求极限

定理：函数在点处极限存在的充要条件是在点处的左极限和右极限存在且相等，即：

。

例8：求函数在处的极限。

解：由于，，所以： .

总结：对于分段函数在分点处极限是否存在，由于分点两侧解析式不同，因此只能使用左右极限进行判断。

参考文献

[1] 赵佳音.高等数学[M].北京大学出版社，2004：10-36.

[2] 同济大学应用数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2007：133-136.