微分方程在实际中的应用

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【摘要】本文通过举例，说明了微分方程在生物、经济、物理等交叉学科中的作用，进一步揭示了掌握微分方程理论知识的重要性。

【关键词】竞争种群;供求均衡;混沌

一、微分方程的基本概念：

表示自变量、函数、导函数关系的等式称为微分方程，如果函数只有一个自变量，那么称其为常微分方程（ODEs），若函数有多个自变量，称其为偏微分方程（PDEs）。

只含一阶导数的微分方程称为一阶微分方程，含有阶导数的方程称为阶微分方程，阶微分方程通过变换可以化成由个一阶微分方程构成的方程组;如果函数和它的导函数都是一次的微分方程称为线性微分方程，否则称非线性微分方程。

二、在生物种群模型中的应用：

两个竞争种群A、B在时刻密度分别为和，和是关于时间的连续可微函数。种群A、B不断繁殖导致密度变化，而由于A、B之间相互竞争，导致它们各自作为对方的食饵而相互抵消，这样影响它们各自密度变化率的有两个因素：一是自身的增长消亡，二是相互竞争导致的消亡。由此有了下面著名的Volterra模型：

这里，和分别表示了在时刻种群A、B的密度变化，分别为A、B的自然增长率，表示它们自身的消亡。而、表示A、B的内禀增长率，表示在B的影响下，种群A的减少程度;表示在A的影响下，种群B的减少程度，且要求系数均是大于0的常数。

这是一个一阶非线性常微分方程组，

它的平衡点为A、B、C、P，当时，平衡点P具有生态意义，即它是渐进稳定的正平衡点，当时，，说明在一定条件下经过长期竞争后，可以使种群A、B密度（数量）趋于稳定。

三、在数量经济中的应用：

在完全市场竞争条件下，商品价格由供求关系决定，即商品在时刻的供给量及需求量与时刻的商品价格有关，假设供给函数与需求函数分别为

，

其中，均为常数，且。

则供求均衡的静态模型为，此时均衡价格为。假设初始价格为，而时刻价格变化率与供求量的差值成正比，即有

这是一个一阶线性常微分方程的初值问题，其中为比例常数，，这个方程的解为

由于，则，即最终供求平衡使得商品价格达到一个稳态。

例如，取，则商品价格随时间的变化曲线如下：

四、在物理学中的应用：

1.大气混沌方程：Lorenz方程

1963年美国麻省理工学院的气象学家E.Lorenz在对天气预报的微分方程模型进行数值计算时发现了一个由3维非线性方程组描述的著名Lorenz方程，这就是混沌现象的第一个奇怪吸引子Lorenz吸引子。Lorenz方程可以作为许多实际中混沌运动的精确模型，在研究天气、对流现象中备受关注。Lorenz方程的基本形式为：

其中，是随时间t变化的物理量，可看作是t的连续可微函数;均是正参数，且当参数不同时，方程状态就不同。

当时，取初值为（3，2，5），时间t取[0，75]，系统出现蝴蝶状的混沌吸引子，如图：

五、总结：

以上就微分方程的应用举了几个特殊的例子，在实际科学研究中，微分方程还可以广泛应用于其他领域，而解决问题的思想是将现实生活中的某些现象和某些数值，通过某种联系抽象成微分方程模型，再对该模型进行求解和分析，最后得到我们想要的结果。

参考文献：

[1] 姜启源，谢金星[M].数学模型.3版.2003.北京：高等教育出版社

[2] 吴赣昌.微积分[M].4版.2011.北京：中国人民大学出版社