工程力学自洽对比教学的探索

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摘要：工程力学课程的概念、公式、定理很多，但是它们之间的内在逻辑自洽性使得对比教学法得到很好的运用，通过找寻概念、公式、定理之间的共性和差异，帮助学生对比学习记忆，既加深对旧知识的记忆与理解，同时使新知识的理解和学习变得更加容易，对比教学法起到了非常好的效果。

关键词：逻辑自洽性;工程力学;对比教学法

中图分类号：G642.42 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）36-0174-02

一、引言

著名教育家乌申斯基认为：“比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的”。普遍的认识是，现代教学理念包括三点：教学的互动性、学生的主体性和知识的建构性。在教学中如何进行知识体系建构呢？笔者认为，基于概念的自洽性的对比教学方法，有助于突出教学重点、突破教学难点，使学生容易接受新知识，避免前后知识的混淆，提高辨别能力，同时有助于学生在理解掌握所学的理论知识的基础上，能够运用所学知识解决实际问题。

所谓“自洽性”，全称“逻辑自洽性”，即相关研究领域内概念、观点等的前后一致性，是一种包含有“可靠性”、“相容性”、“完备性”的稳定思维方式。建构在有限论域的科学理论的基本假设和由这些基本假设推导的一系列结论，以及各个结论之间必须是相容的，并且相互间不矛盾。逻辑自洽性是一个有限论域理论能够成立的必备条件。

二、对比教学法在教学活动中的检证

工程力学课程是机械、土木等工程专业的一门重要学科基础课，在工科专业的教学计划中占有重要地位。它作为学科专业的基础，为学生学习后续相关课程（机械原理、机械零件、结构力学、弹性力学和流体力学等）和将来从事科学技术工作奠定了必要的基础。工程力学也是学生在学习高等数学、大学物理基础课后接触到的第一门学科基础课，在专业课程系统中起着承上启下的作用。同时，也是本科生知识结构、科学精神和工程意识的构建与提升中的重要一环。事实上，力学素养是机械、土木等工科学生专业修养的要素之一。

（一）四种基本变形的基本概念

工程力学中杆件的四种基本变形形式，即：轴向拉伸与压缩、剪切、扭转和弯曲。章节跨度大、公式多，学生容易记错搞混，甚至在考试中出现乱用公式的现象。教学中通过强调四种基本变形的内力、应力和变形计算，可以深化概念、公式的认识。

常用的变形刚度有：EA拉压刚度、GA剪切刚度、GI扭转刚度、EI抗弯刚度。从表1的变形表达式可以看出，各种刚度与对应变形、内力具有形式和内在逻辑的自洽性。

涉及正应力分析的材料刚度中的材料常数为拉压弹性模量（杨氏弹性模量），而涉及剪应力分析的材料刚度为切变模量。

组合变形：FN产生轴向位移dΔ，FS产生剪切位移dλ，T产生角位移dφ，M产生转角dθ。对于dx微段，FN、FS、T、M均为外力。小变形时不计剪力产生的应变能，根据功能原理，略去高阶微量后，dx微段的应变能在四种基本变形下统一表述到一个组合变形的公式中。（见图1）。

dV=dW=FN（x）dΔ+T（x）dφ+M（x）dθ

=++

杆的应变能为：

V=++

（二）由简单到复杂的应力状态下广义胡克定律

简单应力状态和复杂应力状态基于对应力状态的概念分类的阐述：三向应力状态是三向主应力均不为零的应力状态;二向应力状态是只有一个主应力为零的应力状态;单向应力状态是只有一个主应力不为零的应力状态。见图2。（其中的角标x、y、z对应无切应力平面的主应力角标编号1、2、3。）各种应力状态下弹性定律如下：

ε=

ε=σ-νσ？摇ε=σ-νσ？摇

ε=σ-νσ+σ？摇？摇ε=σ-νσ+σ？摇？摇ε=σ-νσ+σ？摇？摇

三种应力状态对应的线弹性变形条件下的弹性定律，当然可以直接根据叠加原理逐个导出。

对于应力单元体（视为一个线性系统模型），由于其应力应变的线性关系，因此具有可加性（叠加原理），从单向应力状态到复杂应力状态，弹性定律的推导过程中可做如下推导（见图2）。求x方向应变ε。当σ单独作用时，应用单向应力时的胡克定律，可得x方向的线应变为ε'=σ/E;当σ和σ分别单独作用时，在x方向引起横向变形，分别为ε"=-νσ/E和

ε？苁=-νσ/E。所以，在σ、σ、σ共同作用下，x方向的线应变为：ε=ε'+ε"+ε？苁=σ-ν（σ+σ）。同理可得：ε=σ-v（σ+σ），ε=σ-v（σ+σ）。

（三）矩阵理论的特征值与特征向量

同样的矩阵理论中的特征值和特征向量，在工程力学也有三个类似应用，其概念和公式都有这种逻辑上的统一。

如果应力矩阵是一个实对称矩阵，通过初等变换将应力矩阵对角化为非对角线元素为0的对角矩阵，此时的切应力为0，主应力的定义是：某面上只有正应力而无切应力时，这个正应力就是主应力。所以，对角线元素分别为第一、第二和第三主应力的值。求主应力就是求特征方程的特征值。

σ=σ==

=0

不同的特征值对应的特征向量正交，所以三个主应力的方向相互正交。

三、结语

通过上述比对分析，我们发现无论是四个基本变形与组合变形;简单和复杂应力状态的弹性定理;旋转变换下的平面应力状态分析与图形的转轴定理;特征值和特征向量在主应力分析、结构振动的固有频率和振型计算、结构屈曲临界荷载;等等方面都有其自身和相互间比对关系的自洽性特征。了解和掌握了这一规律，能够更好地揭示力学理论中的本质内涵。同时，可以为科研教学的深入探究打下扎实的基础。更进一步的，能够为提高我们的科研和教学水平做出一定的贡献。

参考文献：

[1]杨本洛.自然科学体系梳理[M].上海交通大学出版社，2004：5-6.

[2]张豫，胡枕戈.材料力学教学中的类比教学法[J].华东交通大学学报，2007，（z1）.

[3]谢根全，陈孝珍.特征值和特征向量知识在力学中的三处应用[J].力学与实践，2012，（06）.