浅谈初中几何证明“四阶段”教学模式

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[摘 要]

经过多年的教学实践，笔者将初中几何证明教学总结为四个阶段的教学模式：其中，第一阶段教学都是针对学生在学习中所遇到的问题而设计，有效地解决了学生如逆向思维能力差、对条件和结论混淆不清等问题，提高了课堂教学效率，培养了学生数学能力。

[关键词]

几何直觉;规范语言;变式教学;一题多解

第一阶段――以实验几何为主，逐步向说理过渡再到简单的推理

这一阶段主要在初一、初二上学期，这一期间以实验几何为主逐步向说理过渡再到简单的推理，在教学中分组活动，组织学生动手操作，从实验结果中观察、归纳、猜想，得出结论，培养学生的几何直觉。要注意学生培养学生对文字语言、图形语言、符号语言三种语言的转化，熟记几何术语，提高使用几何语言的准确性和规范性。如图1在进行平行线的性质教学时，教材使用了猜一猜、量一量、拼一拼、看一看得出两直线平行内错角相等的结论，用符号语言表示为[a∥b，∠2=∠3]。例如：如图已知a∥b，那么[∠2与∠3]相等吗？为什么？

解：a∥b（已知），∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）

又[∠1=∠3]（对顶角相等）[∠2=∠3]（等量代换）

第二阶段――初二到初三阶段从简单推理向证明过渡

在初二刚接触一个新内容时，笔者先采用分点式（西南师大数学系陈重穆教授在内地版几何教材中提出的）表达，在利用综合式表达，最终实现几何语言的规范性。

例如：图2，已知AB=CD，AD=CD，[∠1=∠2]，求证：BE=BF。

<F：＼TM＼中小学＼2015＼3期＼t3q-30.tif>[图2]

“综合式”证明：连接BD，在ABD和CBD中

[]AB=BC，AD=CD（已知），BD=BD（公共边），

[][ABD]≌[][CBD]（SSS）

[][∠]A=[∠]C（全等三角形的对应角相等）

而[∠]1=[∠]2（已知）[][]ABE≌[]CBF（ASA）

[]BE=BF（全等三角形对应边相等）

以上两个阶段已在初一、初二完成。

第三阶段――初三阶段逻辑证明形成的重要阶段

这一阶段学生已经学完图形的性质，大部分证明题都是综合题，是几何证明的难点，在教学中做到如下几点：

首先课前准备：加强师生情感，对学生进行心理疏导，克服学生对几何证明的畏难情绪，将学生分为几个学习小组（4人一组），实行生帮生。并要求准备笔记本和改错本，收集一些典型的错题。

其次是课堂教学：

1.在初三几何证明一、二、三中，大部分知识是已经学过的图形知识，我先将已学的相关性质和判定做总结归纳，形成一定的知识结构，再将一些重要的定理进行证明，在这期间可结合证明的内容进行合作学习，得出结论，使学生达到知其然还知其所以然。

2.培养学生划分几何命题的“题设”和“结论”将文字叙述的命题改为符号语言，并画出图形。由于学生在证明几何问题时总是分不清问题的题设和结论，因此会划分命题的题设和结论是解决问题的保证。将文字语言图形化，符号化的意识应贯穿几何教学的始终，这样，有利于为几何证明的学习建立良好的基础。

3.强化分析过程，逐步加大题目的难度。学生不能解决几何问题的主要原因是不会分析，不知道为什么这样去想，在几何证明教学时，多在分析问题上下功夫，力求教会学生分析方法，提高学生几何知识的有效性，如在证明三角形全等的题目中，应指导学生认识到哪些是已知的可以直接用作三角形全等的条件，那些需要变为三角形的边角后才能使用。判定中还缺什么条件应当怎样进行推理，防止学生把所有的条件都写到一起，等学生有了推理能力后再适当地加大难度。

4.是进行变式教学，使学生在变式中找到问题的本质，体会万变不离其宗的道理。例如：图3已知在ABC中，如果[∠C=90°]，[∠A=30°]，

AB的中垂线分别交AB，AC于D、E。

求证：BE=2CE。

变式1：把已知条件[∠A=30°]，

与AB=2CE互换，命题成立吗？

变式2：在ABC中，如果

[∠]B=2[∠]A，AB=2BC，求证：ABC是直角三角形。

5.及时了解学情，充分收集反馈信息。学习几会导致不少学生的弱化，他们本来就听不懂，需要看老师和同学的过程，时间一长就出现了抄袭。为避免这种现象出现，对中下的学生的作业进行面批，对其进行学法指导，而对于不能及时批改的作业，把他们分成7个小组，每组每次抽一人交换批改，再要求他们将每组的信息收集起来，教学时就针对有问题的学生提问。

第四阶段――复习阶段

在这一阶段，平时讲的一般都是历年中考题或是与中考题类似的题：

分割中考题，抽取基本图形划归题目类型。

不但要注重正向思维的培养，还要注重逆向思维的培养，如在认真读完一道题后，不知道从何入手，可引导学生从结论出发，例如，要证明某两边相等，那么可以结合图形可以看出只要证明两个三角形全等即可;要证明三角形全等，结合图形和所给的条件，看看还需要什么条件，证明这个条件需要做什么辅助线，这样思考，就会找到证明思路，再把过程写下来。

注重数学思想方法的渗透。在初三的复习中题目繁多，有一部分同学今天做了明天忘，出现搞题海战术的现象。因此，在教学中要注重数学思想和数学方法的渗透。第一轮复习要注意学生对概念的理解和形成，概念是数学思想方法的萌芽阶段，在每一部分复习完后及时小结，形成知识的网络，再次提炼其中蕴含的数学思想方法。在专题复习阶段，对某一类问题的数学思想方法，专门设计一些练习，以强化这一思想方法。

注重反思，利用一题多解培养思维的广阔性。

①在上课时教会学生如何反思。如在讲解下列题目时可以这样处理：

例：图4在梯形ABCD中，AB∥CD，[∠A=90?]，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点。求证：CE[]BE

证明：

如图5，过点C作[CFAB]，垂足为F，因为在梯形ABCD中，AB∥CD，[∠A=90?]，

所以[∠D=∠A=∠CFA]=90[?]，所以四边形AFCD是矩形，AD=CF.BF=AB-AF=1，在RtBCF中，[CF2=BC2-BF2=8].所以AD=CF=[22].

因为E是AD中点，所以DE=AE=[12AD]=[2]

在RtABE和RtDEC中，[EB2=AE2+AB2]=6，

[EC2=DE2+CD2=3]，[EB2+EC2=9=BC2]

所以[∠CEB=90?]，所以CE[]BE

以上参考答案的证明过程无可挑剔。但是下面的证明方法似乎更具一般性：

证明：如图6，取BC的中点F，连结EF，

因为AB=2，DC=l，BC=3

所以中位线[EF=AB+DC2=2+12=1.5=BC2]

所以BEC为直角三角形.所以CE[]BE。

证明过程没有用到[∠A=90?]（直角梯形）这一条件。当然，还有以下证法也没有用到[∠A=90?]这一条件。辅助线如图7所示。

证明：延长CE，与BA交于F，

因为在梯形ABCD中，AB∥CD

所以[∠]DCE=[∠]AFE

因为E是AD中点，所以DE=AE，在DCE和AFE中

[∠]DCE=[∠]AFE，DE=AE，[∠]DEC=[∠]AEF

所以[DCE?AFE（ASA）]所以CE=FE，CD=FA

因为AB=2，DC=1，BC=3.所以FB=FA+AB=CD+AB=1+2=3=BC，

所以BFC是等腰三角形，所以CE=FE， 所以CE[]BE。

②督促学生在课后进行反思。每节课后留给学生思考回顾，并要求学生把当天的知识总结在家庭作业前。在每次的作业或试卷发下来后将错题收集在错题集中，并把错的原因和正确的解答写在后面。

③每学完一节，或一章，要求学生做出这一章的知识结构图，并带领学生回顾本章中的主要数学思想和数学方法。找出学生存在的问题，适当地加强相关的练习。

利用精心准备的小试卷，提高学生的解题速度和解题质量。

在中考前复习期间，先告知学生第二天的复习内容要求学生先回去复习该部分的课本，然后在讲课前发放之前准备的相关内容的试卷，一般有6至8题，（主观客观相结合），要求学生在12分钟内完成，然后相互小组交换批改，收集问题。再结合问题继续复习相关知识。这样，既能加强学生课后复习的监控力度，又能提高学生的解题速度和质量。

事实上，不管是在哪个阶段，有一些方法都是相通的，只是在某些阶段一些方法比较突出，另一些方法起到辅助作用。

[参 考 文 献]

[1]陈应明.“分点式”证明是几何证明的良好途径[J].数学教学通讯，1993（2）.

[2]张丽珍.复习几何证明题的几点建议[J].《新课程.上旬》，2011（12）.

[3]郭兴淑.反思与回顾在中学数学中的应用[J].数学周报教研版，2012（22）.