含绝对值的一元一次方程的解法技巧

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解绝对值方程的关键是去掉绝对值符号，要去掉绝对值符号，首先要确定方程中所有绝对值式子的零点，然后运用零点分段法加以解决

例1 解方程|x+1|=3x-2|x-1|

方程中有两个含有未知数的绝对值式子：|x+1|和|x-1|，为了去掉绝对值符号，先要根据两个绝对值式子的零值点划分区间

分别令|x+1|=0和|x-1|=0得两个零点-1和1，这两个零点将全体有理数分为三个区间 x＜-1，-1≤x≤1，x＞1，在这三个区间内，分别将原方程转化为不含绝对值的方程，再去解

解：由|x+1|=0和|x-1|=0得两个零点-1和1，

原方程可在 x＜-1，-1≤x≤1，x＞1三个区间内分别求解

（1）当 x＜-1时，原方程化为

-（x+1）=3x-2［-（x-1）］，

解得 x=16

因为16不在 x＜-1这个区间内，所以16不是原方程的解

（2）当-1≤x≤1时，原方程化为

x+1=3x-2［-（x-1）］，

解得 x=34

（3）当 x＞1时，原方程化为

x+1=3x-2（x-1），

即 x+1=x+2，1=2，这是一个不成立的等式，故原方程在 x≥1时没有解

综上可知，原方程的解为 x=34

例2 解方程|2x-1|+|x-2|=|x+1|

解：令|2x-1|=0，|x-2|=0，|x+1|=0，得三个零点-1，12，2

原方程可在 x＜-1，-1≤x≤12，12＜x≤2，x＞2时四个区间内分别求解

当 x＜-1时，原方程化为

-（2x-1）-（x-2）=-（x+1），

所以 x=2（舍去）

当-1＜x≤12时，原方程为

-（2x-1）-（x-2）=x+1，

所以 x=12

当12＜x≤2时，原方程为

2x-1-（x-2）=x+1，此时是恒等式

当 x＞2时，原方程为

2x-1+x-2=x+1，

所以 x=2（舍去）

综上所述，原方程的解为

12≤x≤2

点评：含有多个绝对值符号的处理方法是“找零点，划区间”，有时也可以利用绝对值的几何意义

例3 方程||x-2|-1|=a 有三个整数解，求 a 的取值范围

分析：去掉绝对值符号，求出 x 值再讨论

解：当 a=0时，|x-2|-1=0，|x-2|=1，x-2=±1，

所以 x=3或 x=1

当 a＞0时，|x-2|-1=±a，|x-2|=1±a

由|x-2|=1+a 得 x-2=±（1+a），

即 x=3+a 或 x=1-a

由|x-2|=1-a，根据题意，必有 a=1，这时 x=2

故当 a=1时，方程有三个整数解，x=0，2，4

例4 2x+|4-5x|+|1-3x|+4的值恒为常数，求 x 应满足的条件及此常数的值

解：要使原式对任何数 x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简、合并时，必须使含 x 的项相加为零，即 x 的系数之和为零.故本题只有2x-5x+3x=0一种情况.因此必须有

4-5x≥0，1-3x≤0，

解之得 13≤x≤45

此时原式=2x+（4-5x）-（1-3x）+4

=7

例5 求 a 的取值范围，使方程|x|=ax+1有一个负根，而且没有正根

解：当 x＜0时，

-x=ax+1，（a+1）x=-1

若 a≠-1，则 x=-1a+1，

所以 a＞-1

当 x＞0时，x=ax+1，（a-1）x=-1

若 a≠1，则 x=-1a-1＞0，

所以 a＜1

因为 a＜1时，方程有正根，a＞-1时，方程有负根，故当 a＞1时，方程仅有负根，而没有正根

同步训练

1.解方程|x-5|+|x+1|=6

2.解方程|x+2|+|x-2006|=2008

3.解方程|x+3|-|x-1|=x+1

4.解方程|x+5|-|3x-7|=1的解有个

5.已知关于 x 的方程|a|x=|a+1|-x 的解是1，求 a 的取值范围

答案：1.-1≤x≤5；

2.-2≤x≤2006；

3.x=-5、-1、3；

4.2个；

5.依题意|a|=|a+1|-1，

即|a+1|-|a|=1

当 a＜-1时，-a-1-（-a）=1，

即-1=1不可能成立；

当-1≤a≤0时，a+1-（-a）=1，

所以 a=0

当 a＞0时，a+1-a=1，即1=1

故 a 的取值范围是 a≥0

（初一）

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