含绝对值不等式问题探究

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含有绝对值的不等式问题，脱去绝对值符号是主方向，方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等。这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行。因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法须视具体情况而定。下面结合具体例子谈谈绝对值不等式的问题。

例1：设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|。

（1）解不等式f（x）>2；（2）求函数y=f（x）的最小值。

分析：第（1）问：采用分段函数解不等式；第（2）问：画出函数f（x）的图象可求f（x）的最小值。

解（1）f（x）=|2x+1|-|x-4|=-x-5（x

当x2，得x

当-■≤x2，得x>■，■

当x≥4时，由f（x）=x+5>2，得x>-3，x≥4。

故原不等式的解集为{x|x■}。

（2）画出f（x）的图象，如图：

■

f（x）min=-■。

方法总结：（1）用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值。

（2）用图象法。数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简捷直观，是一种较好的方法。

例2：求使不等式|x-1|+|x-3|

分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便。

解法一：将数轴分为（-∞，3]，[3，4]，（4，+∞）三个区间，

当x

当3≤x≤4时，得（4-x）+（3-x）1；

当x>4时，得（4-x）+（3-x）4，a>1。

以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1。

■

解法二：设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B，如上图，由绝对值的几何定义，原不等式|PA|+

|PB|

因为|AB|=1，故数轴上任一点到A、B距离之和大于（等于1），即|x-4|+|x-3|≥1，故当a>1时，|x-4|+|x-3|

例3：求证■≥|a|-|b|

分析：使用分析法。

证明|a|>0，只需证明|a2-b2|≥|a|2-|a||b|，两边同除|b|2，即只需证明。

■≥■-■-■，即|（■）2|-1≥|（■）2|-

|■|

当|■|≥1时，|（■）2-1|=|（■）2|-1≥|（■）2|-|■|；当|■|

|a|-|b|

说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法。本例也可以一开始就用定理：

■≥■=|a|-■・|b|

（1）如果■≥1，则|a|-|b|≤0，原不等式显然成立。

（2）如果■|-b|，利用不等式的传递性知|a|-■，|b|>|a|-|b|，原不等式也成立。

总之，只要我们能够抓住绝对不等式的实质性，这些问题也就迎刃而解了。

（作者单位：江西省兴国县平川中学）