含字母的绝对值的化简方法

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学完有理数这章后，学生最难理解和最易出错的就是绝对值的化简，随着学习了整式的加减后，化简含字母的绝对值就更难了，为了突破这个难点，和同学们一起探讨含字母的绝对值的化简方法。

绝对值可以从几何意义和代数意义两个方面去理解。几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离;代数意义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

因此我们遇到含字母的绝对值问题时，要先判断符号，确定绝对值内含字母的式子是正数、零、还是负数，再根据绝对值的代数意义化去绝对值符号.当这个含字母的式子是正数还是负数不能确定时，要分类（一般分大于0、等于0、小于0三种情况）讨论。下面举例探讨如下：

一、已知条件由数轴给出的含字母的绝对值的化简

【例1】已知有理数 在数轴上的位置如图所示，

试化简： a+c-b-c+2b-a

【分析】化简含字母的绝对值时，首先要判断每个绝对值内含字母的式子的符号（是正数还是负数），再利用绝对值的代数意义，化去绝对值符号，最后去括号合并同类项.由于字母表示在数轴上，所以又要观察数轴，确定字母表示的是正数还是负数，再判断绝对值内含字母的式子的符号。

【解】观察数轴可知： a>0，b<0 ，c<0且 c>a，c>b

所以，a+c<0，b-c=b+（-c）>0，2b-a=2b+（-a）<0

所以， a+c-b-c+2b-a=-（a+c）-（b-c）-（2b-a）

=-a-c-b+c-2b+a=-3b

【归纳】（1）观察数轴，确定数轴上的数的正、负和离原点的远近（绝对值的大小）;（2）判断绝对值内含字母的式子的符号（一般用有理数加法法则）;（3）根据绝对值的代数意义化去绝对值符号（注意把绝对值内的式子看成整体添加括号）;（4）去括号、合并化简。

二、已知条件由不等式给出的含字母的绝对值的化简。

【例2】已知a<0<b，且a>b，则a-a+b-b-a化简后得 （ ）

A、2b+a B、2b-a C、a D、b

【分析】由已知条件可知，a为负数，b为正数，并且负数的绝对值较大，所以a+b<0，b-a>0，从而可化简绝对值。

【解】由已知可得，a<0，a+b<0，b-a=b+（-a）>0

所以，a-a+b-b-a=-a-[-（a+b）]-（b-a）=-a+a+b-b+a=a

故选C。

【例3】已知-2？燮x？燮3，则x+2+x-3的值为 。

【分析】因为-2？燮x？燮3，所以可得-2？燮x和x？燮3，由-2？燮x得x+2？叟0，由x？燮3得x-3？燮0，从而可化去绝对值。

【解】由-2？燮x？燮3得-2？燮x和x？燮3，所以x+2？叟0，x-3？燮0，

所以， x+2+x-3=（x+2）-（x-3）=x+2-x+3=5

故填5。

【归纳】先分析已知条件，再观察要化简的式子，得到相应的不等式，从而判断出绝对值内的式子的正、负，化简绝对值。

三、没有已知条件的含字母的绝对值的化简

【例5】化简：x+2+x-3

【分析】由于x可以为任意实数，x取不同的值时，x+2与x-3的值可能同正、同负或一正一负，因此，必须把x的取值范围确定下来，所以要先找出每个绝对值的零点值（即绝对值为0的x的值），然后把全体实数分段，在每一段内分别化简。本题中绝对值的零点值是-2和3，故可分为x？燮-2，-2<x<3，x？叟3三段来化简绝对值。

【解】（1）当x？燮-2时，x+2？燮0，x-3<0，

所以x+2+x-3=-（x+2） -（x-3）=-x-2-x+3=-2x+1，

（2）当-2<x<3时，x+2>0，x-3<0，

所以x+2+x-3=（x+2） -（x-3）=x+2-x+3=5，

（3）当x？叟3时，x+2>0，x-3？叟0，

所以x+2+x-3=（x+2） +（x-3）=x+2+x-3=2x-1，

综上所述：x+2+x-3-2x+1 （x？燮-2）5 （-2<x<3）2x-1 （x？叟3）

【归纳】（1）当要化简的绝对值中字母的取值不能确定时，要分类讨论，把各种可能情况一一讨论求解;

（2）化简只含一个字母的绝对值时，先找出每个绝对值的零点值，再把全体实数分段，然后在每一段中化去绝对值符号。

以上方法仅供同学们在学习中参考，并用这些方法突破化简含字母的绝对值这一难点！