运用“一题多解”提高复习效率

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“一题多解”是培养学生各种能力的好方法。初中数学教学实践中，要注意让学生扩大知识面，做好解题总结，从而提高学生的判断能力，形成创新思维的习惯。通过“一题多解”的练习，学生的思路能够开阔，对各种问题能从更深层次进行思考。

高效课堂中学几何一题多解发散思维教育家苏霍姆林斯基说过：“真正的学校是一个积极思考的王国。”数学教学中，高效的复习课堂特别重视学生拓展性思维能力的培养，这已是所有教师的共识。要培养学生进行灵活思考，多角度看问题，多方位处理问题进行拓展性思维，其主要方法就是拓宽思路，一题多解，善于联想，发散思维。特别针对中学几何证明和求解的多样性，要求学生在做题时能善于观察、思考，从不同角度分析问题，力求灵活驾驭所学知识。一个数学问题，如果我们只有一个解法，无论是自己想出来的还是查答案看到的，都或多或少会存在认识上的局限性。只有在得出两个或多个解法后，学生才能对问题的实质有真正的了解，通过解题而加强知识之间的联系以形成知识网络，从而培养解题能力的目的才有可能得以实现。我们仅以下面这道题目来说明这个道理。

题目：如图1，半圆的直径AB=2，点C从点A向点B运动沿着半圆运动，速度为每秒π6，运动时间为t(秒)，D是弧BC的中点，连结AD，BC相交于点E，连结BD.

（1）如果OC∥BD，求t的值及BDAE的值；

（2）当t=3时，求BDAE的值.

本题的第（1）问相对比较简单，这里就不展开介绍，给出一种参考答案如下：

解：（1）如图1，OC∥DB，∠DBC=∠C=∠CBA，弧DC=弧AC，又点D平分弧BC，

∠DBC=∠C=∠CBA=30° 弧AC=13π， t=2；

在RtABD中，∠D=90°，AB=2，DB=1，AD=3，

在RtBDE中，∠D=90°，BD=1，DE=133， AE=233，DBAE=32.

第（2）问解法一：

分析：由已知条件直径AB=2，再利用角平分线性质过点E作EFAB于点F，根据勾股定理、三角形相似可求出相应线段长度及关系。

解如图2，过点E作EFAB于点F

理由：当t=3时，弧AC=12π，∠ABC=45°

AC=BC=2，BF=EF=CE=2－2，EB=2BF=22-2

AE2=(2)2+(2－2)2=8－42

由ACE∽BDE得：DBAC=BEAE，DB=AC•BEAE,

DBAE=AC•BEAE2=2•（22-2）8-42=12

解法一从角平分线的性质入手，通过三角形相似把线段DB用AC、BE、AE的关系表示出来，从而达到直接求解BDAE的目的，培养了学生一种“整体思想”。

解法二：

分析：如图3，可以找AE中点M，根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得AE=2CM，然后作CHAE 根据相似求得BD=2CE ，再由CM、CE之间的关系求出答案。

解：如图3，找AE的中点M且连接AM，作CHAE交AE于点H，

AB是直径，ACBC，RtACE中AE=2CM ，AM=CM，

又CHAE，ADBD CH∥BDCHE ～BDE ，

又AD平分CAB ，CHBD=CEBE=ACAB=12 ，BD=2CH，

又RtMHC中∠CMH=22.5 o×2=45 o ，MC=2CH，BD=MC DBAE=12。

解法二巧妙地利用相似找出DB与CH的关系，由CH与CM的关系发现CM=DB，再通过直角三角形斜边上的中线的性质得出AE是CM的2倍，从而得到BDAE的比值。这里利用线段CE、CM为桥梁，培养了学生一种“转化思想”。

解法三：

分析：如图4，连接OD交CB于点P，根据OD∥AC可以推得

CAE ～BDP，则可由DBAE=BPAC求的要求的值。

解：连接OD交CB于点P，OD∥AC ，

∠DPB=∠ACB=90° 又∠DBP=∠CAE CAE ～BDP

DBAE=BPAC，等腰RtOPB中， OP=PB=12AC，DBAE=BPAC=12

解法三利用垂径定理的推论找出RtBDP，从而把要求的BDAE里的BD、AE分别放到两个直角三角形的斜边上，直接通过相似求出比例，培养了学生一种“化归思想”。

解法四：

分析：我们可以先把ACE独立出来，在RtACE中求出tan22.5°的值，然后根据三角函数值直接计算出相应线段的长度，这种先求出基本图形的函数值再求解的方法在解题中应用比较广泛，值得我们所关注。

解：如图5，在RtACB中因为AE平分∠CAB，

CEBE=ACAB=12 ，若设CE=m，则EB=2m，

AC=BC=(2+1)m ，tan22.5杜= tan∠CAE=11+2=2－1

设BD=x，

在RtEBD中，DEBD= tan∠EBD= tan22.5°

DE= X・tan22.5°= =（2－1）x，

又在RtADB中，DBAD= tan22.5°，AD=xtan22.5=(2+1)x

AE=AD-DE=(2+1)x-（2－1）x=2・X，

DBAE=x2x=12

解法四把复杂图形简单化。根据这个图形里面都有22.5°的Rt，我们先把这个22.5°的Rt从中抽象出来，然后由这个基本图形的模型分析出他们对应的数量关系，再把这些数量关系带回到原有图形中求出BDAE的值，培养了学生一种“建模思想”。

由此例可见，在平时的数学教学中，教师不但要教会学生常规解题的方法，还应向学生提出“一题多解”的问题。这道例题第二小问的六种解法或利用了三角形角平分线的性质、三角形中线的性质、三角形相似的性质、角平分线的性质等求解，或利用了添加不同的辅助线、利用不同的已知条件求解。在这种多种几何图形组合的问题中，往往蕴含着多种几何性质，由此必然蕴含着多种解题思路。

通过对一道题探究多种解法的训练，不仅能够激发学生的学习热情，还提高了学生的思维发散能力，加深了对知识深层次的理解，同时也给学生提供了合作交流与竞争的平台。这样的课堂是高效的课堂，是一种精神与思想的陶冶与洗礼的课堂，对师生均是一种享受。这样的课堂不仅巩固了学生平时所学的基础知识，也对这些知识进行了灵活的综合运用，同时又培养了学生的独创思维，拓宽了解题思路，提高了数学能力。另外，一题多解对促进分层教学也是一种有益的尝试，班级授课通常采用的单一解法有时不能满足学生个性化的需求，一题多解正好能够弥补这方面的不足。

总之，“一题多解”指导思想的根源在于引导学生多反思题境，多总结方法并对所涉及的知识进行剖析、归纳、总结，就能在头脑里形成一个比较完整的知识体系，从而提高运用知识、驾驭知识的能力从而达到提高课堂复习的效率。“学而不思则罔”，只有通过学生尽可能多的反思自己的解题，才能促进学生提高解决实际问题的能力。

参考文献：

\[1\]周红曼.一题多解，提高复习的效率\[J\].中学生数理化?教与学，2011，（4）.

\[2\]王育财.拓宽思路一题多解\[J\].数学教学与研究，2012，（5）.

\[3\]袁建华.注重一题多解构建知识网络\[J\].中学教学参考，2009，（12）.