理清数列函数关系 巧探数列最值解法

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摘要：从近几年新课标高考来看，数列的考查越来越趋向于简单化，数列求最值，却成了高考命题的热点，也成了联系数列与函数单调性、导数应用、不等式求解等知识交汇题型的纽带.均值定理法、函数性质法、导数法等都巧妙地把数列求最值转化成了函数最值问题.

关键词：数列；数列最值；函数性质关系；导数求最值；均值定理求最值；巧妙转化

中图分类号：G633.6 文献标志码：A？摇 文章编号：1674-9324（2014）07-0245-02

数列在高中数学中可以说是“叱咤风云”，具有深刻的内涵与丰富的外延，在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.从近几年新课标高考来看，数列的考查逐渐趋向于简单化，但是数列求最值，却成了高考命题的热点，也成了联系数列与函数单调性、导数应用、不等式求解等知识交汇题型的纽带.本文主要谈谈数列求最值的几个常规解法，供读者参考.

一、均值定理求数列中项的最值

例1 （2013届闵行区二模）公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1=1，an=73，则n+d的最小值等于（？摇？摇）.

解：Q a1=1，an=73，d=■，d+n=■+n=■+（n-1）+1，n=9时，n+d取最小值18.

点评：利用式子特征构造均值定理应用环境，适用于所求式子为齐次分式，或分子分母一、二次能分离的，可以构造均值定理的数列求最值问题.

【变式1】设a1，a2，…，a2007均为正实数，且■+■+…+■=■，则a1a2…a2007的最小值是（？摇？摇） .

解：设xi=■，则ai=2・■，且■xi=1，所以a1a2…a2007 =22007・■・（x2+x3+…+x2007）・（x1+x3+…+x2007）…（x1+x2+…+x2006）≥22007・■・2006・■・2006・■…2006・■22007・20062007=40122007

二、函数性质法求解数列最值

例2 （2013江苏理14题）在正项等比数列{an}中，a5=■，a6+a7=3，则满足a1+a2+L+an>a1a2Lan的最大正整数n的值为 .

解：a5=■，a6+a7=3，a5q+a5q2=3，q2+q-6=0，Qq>0， q=2，an=2n-6，Qa1+a2+a3+…+an>a1a2a3…an，2n-5-2-5>

2■，2n-5-2■>2-5>0，n-5>■， ■

解法二：设等比数列{an}的公比q，则q>0，根据题意得a5=a1q4=■a5+a7=a1q4（q+q2）=3，化简得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍），a1=2-5，又QSn=■=2-5（2n-1-1）a1・a2・…・an=a1n・q1+2+3+…+n-1=（2-5）n2■，又Qa1+a2+…+an>a1・a2・…・an，所以2n-1-1>2■，将n=1，2，3，…带入验证发现n≥13时上述不等式成立.故n取最大整数12.

点评：数列是特殊的函数，若其通项或前n项和有明确的函数解析式时，一般考虑用函数的单调性质求取最值，但要注意自变量n的取值范围.一般情况下用作差或作商来证明单调性求解，有时也用导数来证明.本题易忽视公比的取值范围而致错，对指数幂的运算性质不熟也会导致错误.

【变式2】已知数列{an}满足an=■-■，数列{an}的最大项为 .

解：（作商法求单调性）an=■，■=■n∈N*，■+■a3>L>an>an+1>L数列{an}有最大项，最大项为第一项a1=■-1.

三、导数法在数列求最值当中的应用

例3 [2013新课标Ⅱ卷（理）]等差数列{an}的前n项和为 Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 .

解：由已知得：Sn=■n（n-10），设f（n）=nSn=■（n3-10n2）f '（n）=n（n-■），靠近极小值点n=■的整数为6和7，代入f（n）计算得n=7时f（n）最小，最小值为49.

点评：导数法求数列最值，一般用于所求解析式是高次，或作商和作差不好判断单调性的题型，是利用函数性质求数列最值的一种特况，作为研究数列和函数的桥梁，使问题解决便捷.

【变式3】 （2013年浙江省高中数学竞赛试题解答）数列{■}，n=1，2，L，则数列中最大项的值为（ ？摇）.

解：f（x）=x■=e■？圯f'（x）=■（1-lnx）？圯x=e为极大值点，即数列最大项■.

四、数列特性法求解最值

例4？摇（2011北约13校自主选拔）在等差数列{an}中，a3=-13，a7=3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何.

解：因为a3=-13，a7=3，所以d=4，所以an=4n-25，

法一：由an=4n-25≤0an+1=4（n+1）-25>0得■

法二：由Sn=■=2n2-23n=2n-■■-■，所以当n=6， （Sn）min=S6=-66.

点评：等差数列求解最值问题，一般利用等差数列的特性、单调性或其前n项和的二次函数性质求解最方便.

总之，数列最值问题求法多种多样，运用技巧灵活，知识综合性强，它成为数列与函数单调性、导数应用、不等式求解等知识交汇题型的纽带.均值定理法、函数性质法、导数法等都巧妙地把数列求最值转化成了函数最值问题，并且数列本身性质也为求取最值开辟了巧妙的思路.