水力学计算中迭代法的作用探讨

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作者：李占松

同类事物的共同本质及其所表现出来的共同现象，即共性。由于不同学科的复杂程度或发展的快慢不同，研究成果所达到的水平也不同。复杂程度是学科研究内容本身所固有的，学科发展的快慢受社会需求的影响。人文科学相对于自然科学是复杂的，数学作为工具，它的应用程度显示着该学科的研究水平。就此而言，人文科学相对于自然科学研究水平较低，是必然的也是客观的。所以，基于同类事物的共性，人文科学可以借鉴自然科学的研究成果。水力学是自然科学的一个分支，迭代法是水力学中常用的数学计算方法。基于水力学计算中迭代法进行一些哲学思考是有益的。

一、迭代法基本原理

1.非线性代数方程式的迭代法[3]用逐次逼近的方法求非线性代数方程式f(x)=0的实根。先将（1）式变换为迭代公式的形式：x=F(x)（2）选取初值x0进行迭代计算，得第一次迭代计算结果记为x1；再将x1作为第二次迭代初值进行迭代计算，得第二次迭代计算结果x2；以此类推，将第n次迭代计算的结果xn作为第n+1次迭代计算的初值进行迭代计算，得第n+1次迭代计算的结果xn+1。xxF(x)xF(x)xF(x)01021n1n&&&g&===+（3）每迭代一次进行收敛判别，迭代进行到第n+1次时收敛判别式为：（式略）ε为收敛判别常数。如满足，迭代结束；否则继续进行迭代计算，直到满足收敛判别式为止。要使上述过程能够收敛，迭代公式要满足的条件为：Fl(x)＜12.线性代数方程组的迭代法例如求解如下三元一次方程组：（方程略）也可以采用介于雅克比迭代法和塞德尔迭代法之间的迭代法。新值采用两者迭代结果的加权平均值。塞德尔迭代法结果所占权值介于0和1之间时，称为欠松弛迭代法。塞德尔迭代法结果所占权值大于1时，称为超松弛迭代法。

二、水力学计算中的迭代法

应用水力学计算中常用迭代法进行如下计算：梯形断面明渠正常水深和底宽的计算、梯形断面明渠临界水深的计算、非棱柱体渠道水深的计算及泄水建筑物下游收缩断面水深的计算等。（方程略）式中：hc为泄水建筑物下游收缩断面水深；q为通过泄水建筑物的单宽流量；φ为泄水建筑物的流速系数；E0为泄水建筑物上游断面相对于下游收缩断面最低点的总水头。用有限差分法或有限单元法进行水力学问题数值计算时，最后都要求解线性代数方程组。

三、相关的哲学思考

1.每做一件事都要先选取正确的路线对于非线性方程式进行迭代计算时，首先要构造满足收敛条件的迭代计算公式，即式（5）。只有满足收敛条件，才能得出最终的精确解。如果构造的迭代公式不满足收敛条件，迭代就会发散甚至数值溢出，就得不出最终的精确解甚至迭代中断。所以说，无论做什么事，都要选择正确的路线，否则会前功尽弃。2.只要摆正位置总可以达到目标只要初值在最终精确解迭代的收敛域内，初值大小对最终的精确解无影响。比如，用（13）式迭代计算梯形断面明渠正常水深、用（14）式迭代计算梯形断面明渠均匀流底宽、用（15）式迭代计算梯形断面明渠临界水深、用（16）式迭代计算非棱柱体梯形渠道水深和用（17）式迭代计算泄水建筑物下游收缩断面水深，均可以简单地选取迭代初值为0。做一件事情，如果不在目标所要求的初始状态，应首先调整目前的状态，否则谈目标是不切实际的；如果在目标所要求的初始状态，就要不失时机地去追求，不要彷徨，不要因自己目前的状态离目标相差比较远而不自信，甚至自暴自弃，只要努力都可以达到预定的目标。3.要有恒心不投机取巧线性方程式可以进行一次直接求解，而非线性方程式则需要逐步地迭代计算。迭代过程还有可能出现矫枉过正的现象，但离精确解总的趋势是越来越近的。自然界中描述一切现象的方程严格来讲都应该是非线性方程式，线性方程式只是一种近似。所以说，做一件事情不要寄希望于一蹴而就，要有恒心。追求的过程中，有时出现矫枉过正的现象也是不可避免的，但是只要坚持就会无限接近我们的目标。4.摆正心态不吹毛求疵利用迭代法求解非线性方程式或线性方程组时，需给定收敛判别式（4）或（12）。其中ε是一个小量，即允许的误差值。每次的迭代结果逐渐逼近精确解，但永远不能和精确解完全相同。如果不给定收敛判别式，迭代过程就会陷入无休止的循环。其实所求的函数值，与其相关所有自变量值的给定都存在一定的误差，这些误差也是不可避免的。这就决定了所求的函数值最终可能的精度水平，在此前提下追求最终结果的精度是客观的。如果想得到比此水平更高的精度，则是不切实际的，这样做是徒劳无益的。所以说，做任何事情都要综合各种因素，做出一个客观的合理的预期。调整好心态适可而止，不要吹毛求疵。5.善于总结经验教训可以提高效率根据具体方程的实际迭代过程，当迭代稳定性比较差易发散时，可选取欠松弛迭代法。当迭代稳定性很好但收敛较慢时，可选取超松弛迭代法。经过计算实践，可选取最优的塞德尔迭代法结果所占权值，使迭代过程既稳定不发散又迭代次数最少，达到既好又快的效果。做任何事情也都要善于对过去的所作所为进行总结，对进度进行适时地修正。当进度太快容易引起过程不稳定，以至于对正常迭代收敛可能造成破坏时，应适当地减缓进度。当迭代过程稳定性很好，但迭代收敛比较缓慢时，可以根据经验适当地加快进度。善于总结经验教训，可以提高效率，以便事半功倍。

四、结语

从水力学计算中迭代法可以得到如下启示：做一件事首先要选择一条正确的路线，这是能够达到目标的前提；无论现在的状态如何，只要沿着正确的路线走下去，都会达到预期的结果；不要寄希望于一蹴而就，要有恒心；调整好心态适可而止，不要吹毛求疵；善于总结经验教训可提高效率，以便事半功倍。