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含有一个量词的命题的否定

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从命题形式上看,全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题,该内容常与命题的真假性判断结合考查. 对含有一个量词的命题的否定首先得弄清以下几点:(1)弄清命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题的否定的前提. (2)注意命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再进行否定. (3)“[p或q]”的否定为:“[? p]且[? q]”;“[p]且[q]”的否定为:“[? p]或[? q]”. (4)要判断“[? p]”命题的真假,可以直接判断,也可以判断“[p]”的真假,因为[p]与[? p]的真假相反.

含有一个量词的命题的否定

例1 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )

A. 所有能被2整除的整数都是奇数

B. 所有不能被2整除的整数都不是奇数

C. 存在一个能被2整除的整数是奇数

D. 存在一个不能被2整除的整数不是奇数

解析 否定全称命题和特称命题时,一定要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词,二是要否定结论.

答案 D

例2 “[?x∈A,x2-2x-3>0]”的否定为( )

A. [?x∈A,x2-2x-3<0]

B. [?x?A,x2-2x-3≤0]

C. [?x∈A,x2-2x-3>0]

D. [?x∈A,x2-2x-3≤0]

解析 特称命题的否定为全称命题,

故“[?x∈A,][x2-2x-3>0]”的否定为:“[?x∈A,x2-2x][-3≤0]”.

答案 D

点拨 (1)对全(特)称命题进行否定的方法:①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,并且改变量词或符号(全称量词[?]特称量词);②找到[p(x)]并否定. (2)“否命题”与“命题的否定”的区别.“否命题”与“命题的否定”不是同一概念,否命题是对原命题“若[p]则[q]”的否定,既否定其条件,又否定其结论,它们之间没有真假关系. 而“命题[p]的否定”即“[?p]”是否定命题中的结论,它们之间真假相反.如:例2中不要错选成B.

与含一个量词的命题的否定有关的参数取值范围问题

例3 已知命题“[?x∈R,x2+2ax+1<0]”是假命题,则实数[a]的取值范围是( )

A. [(-∞,-1)] B. [(1,+∞)]

C. [(-∞,-1)?(1,+∞)] D. [-1,1]

解析 由题意知,原命题的否定:[?x∈R,x2+2ax+1][≥0]为真命题,即Δ[=4a2-4≤0],

[-1≤a≤1].

答案 D

例4 已知命题[p]:[?x∈0,1,a≥ex],命题[q]:“[?x0∈R,x02+4x0+a=0]”,命题“[p∧q]”是假命题,则实数[a]的取值范围是( )

A. [-∞,4] B. [(-∞,1)?(4,+∞)] C. [(-∞,e)?(4,+∞)] D. [1,+∞]

解析 当[p]为真命题时,[a≥e].

当[q]为真命题时,[x2+4x+a=0]有解,

则[Δ=16-4a≥0,]

[a≤4].

法一:[p∧q]的否定为真命题,即[? p∨?q]为真命题,

[a]的取值范围是[(-∞,e)?(4,+∞)].

法二:若[p∧q]为真命题时,[e≤a≤4],

[]“[p∧q]”为假命题时,[a<e或a>4].

点拨 (1)[p,q]为真命题时,分别求出相应参数的范围;(2)用补集思想,求出[?p],[?q]对应的参数范围;(3)由复合命题真假转化为集合基本运算综合得参数范围.

全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质,无一例外,而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象,有例外,两者正好构成了相反意义的表述,所以全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.

常见量词的否定

[词语\&词语的否定\&词语\&词语的否定\&等于\&不等于\&至多一个\&至少两个\&大于\&不大于(即小于或等于)\&至少一个\&一个也没有\&小于\&不小于(即大于或等于)\&任意\&某个\&是\&不是\&所有的\&某些\&都是\&不都是(与“都不是”区别开)\&一定\&不一定\&]

练习

1. 命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( )

A. 所有奇数的立方都不是奇数

B. 不存在一个奇数,它的立方是偶数

C. 存在一个奇数,它的立方是偶数

D. 不存在一个奇数,它的立方是奇数

2. 设[x∈Z],集合[A]是奇数集,集合[B]是偶数集,若命题[p:?x∈A,2x∈B],则( )

A. [? p:?x∈A,2x?B]

B. [? p:?x?A,2x?B]

C. [? p:?x?A,2x?B]

D. [? p:?x∈A,2x?B]

3. 在一次跳伞训练中,甲、已两位学员各跳一次.设命题[p]是“甲降落在指定范围”,[q]是“乙降落在指定范围”,则命题:“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )

A. [(?p)∨(?q)] B. [p∨(?q)]

C. [(?p)∧(?q)] D. [p∧q]

4. 已知“命题[p:?x∈R],使得[ax2+2x+1<0]成立”为真命题,则实数[a]满足( )

A. [0,1] B. [(-∞,1)]

C. [1,+∞] D. [-∞,1]

5. 已知[f(x)=3sinx-πx,]命题[p:?x∈(0,π2),f(x)<0,]则( )

A. [p]是真命题,[?p:?x∈(0,π2),f(x)>0]

B. [p]是真命题,[?p:?x0∈(0,π2),f(x0)≥0]

C. [p]是假命题,[?p:?x∈(0,π2),f(x)≥0]

D. [p]是假命题,[?p:?x0∈(0,π2),f(x0)≥0]

6. 已知命题[p1]存在[x∈R],使得[x2+x+1<0]成立;[p2]对任意[x∈1,2],[x2-1≥0.] 以下命题为真命题的是( )

A. [?p1∧?p2] B. [p1∨?p2]

C. [?p1∧p2] D. [p1∧p2]

参考答案

1. C 全称命题的否定,改变量词为“存在一个”,然后否定结论即可.

2. D 全称命题的否定,注意符号变化,不要错选C.

3. A 复合命题的否定,“至少有一位学员没有降落在指定范围内”的否定是“都降落在指定范围”即“[p∧q]”的否定.

4. B 注意讨论,若[a=0]时,符合题意;若[a≠0],则[=4-4a>0]即[a<1].

5. B [f(x)=3cosx-π<0],[f(x)在(0,π2)]上是减函数,[f(x)<f(0)],[而f(0)=0],[]命题为真命题,又全称命题的否定是特称命题.

6. C 由题意知[p1]为假命题,[p2]为真命题.