参变量取值范围的探求
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含参问题是高中数学中非常常见的一类问题，也是高考的一个热点，它可以在各类题型以及各个板块的数学知识中出现。此类题型的特点是覆盖知识点多，综合性强，考试时比较能反映考生的各种数学能力与数学思想。因此，要求学生能针对具体问题结合实际条件选取正确的解题方法及解题思路，这样才能让含参数问题更有效地得以求解。
纵观中学数学的参变量，概括起来有两类作用，一类是参变量的变化改变整个数学问题的状态。如解析几何的曲线系问题。代数中含参数的方程或不等式问题。另一类是参变量的变化，同时影响着两个或两个以上变量的变化。如解析几何的参数方程，代数方程或不等式中，引进参数，进行变量替换，改变命题的形式或结构。本文试图解决的是前一类变量取值范围问题（对问题的状态提出某种约束条件）。
类型I 用函数思想求参变量取值范围
方法一：主元法。在解题过程中，有时把某一个“元”看得特别重些，给以特殊的地位。这个“元”我们不妨设为“主元”，“主元”的观点很有用。在这里“主元”就是要考查的参变量。
分析：如图，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则CDy轴。因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。根据已知，设A（-c，0），
这里参变量e在方程
当单个参变量不能分离出来，可考虑整体分离法，即把含未知量的式子与参变量的式子分离，通过控制含未知量式子的范围，求得参变量的取值范围。若整体不能分离，可考虑转化为类型Ⅱ。
方法二：综合分析法，即综合运用函数观点、单调性、奇偶性、值域等解决问题。
例3 已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2。
（1）如果x1
（2）如果|x1|
分析：（1）可考虑借助韦达定理，用x1、x2表示a，b，进而用x1、x2表示函数f（x）的对称轴，通过分析x1，x2的变化，控制x0的取值范围。由f（x）-x=0即ax2+（b-1）x+1=0，x1・x2=，又x1+x2-x1・x2=（1-x2）x1+x2，把它看作关于x1的一次函数，由1-x12（1-x2）+x2=2-x2>-2，即x0>-1。
（2）由|x1-x2|=2，借助韦达定理，建立a，b的等量关系，又由|x1|
类型II 用方程思想求参变量取值范围
方法一：数形结合及一元二次方程根的分布（此法适用于未知量与参变量不宜分离或分离后讨论复杂）。
例4 已知二次函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1和x2。
（1）如果x1<2<x2<4，设函数f（x）的对称轴为x=x0，求证：x0>-1;
（2）如果|x1|<2，|x2-x1|=2，求b的取值范围。
分析：条件x1<2<x2<4实际上给出了f（x）=x的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化。
解：设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-1）x+1，则g（x）=0的二根为x1和x2。
（1）由a>0及x1<2<x2<4，可得g（2）<0g（4）>0，即4a+2b-1<016a+4b-3>0，即3+3所以，x0>-1;
解：如图所示，设双曲线上存在两点A（x1，y1），
由上述例题我们可以总结出处理这类对称问题的具体方法：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）是曲线C上关于直线y=kx+b对称的两点，则PQ的方程为y=-x+m，代入曲线C的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，其中P、Q点的坐标即为方程的根，故>0，从而求得k（或b）的范围。
类型III 用不等式知识求参变量取值范围
方法一：利用基本不等式，基本不等式揭示了两个或两个以上变量的不同结构之间的内在联系，发掘两者之间内在联系，可求得参变量取值范围。
例6 设x，y，a∈R，且x+y=2a-1，x2+y2=a2+2a-3，求乘积xy的最小值。
分析：注意到x+y与x2+y2之间内在不等关系，求的a的取值范围，用a表示乘积xy，进而求得xy的最小值。
方法二：数形结合，利用曲线范围，结合不等式知识，求得参变量取值范围。
思路2：如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源。由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来。一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于x1，x2的对称关系式。我们可以构造关于x1，x2的对称关系式。
类型IV 综合运用上述思想、手段，求变量取值范围
若问题单纯用上述方法无法奏效，可以考虑综合运用函数、方程的思想及不等式知识解决它。
（1）求实数a的值组成的集合A;
（2）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2。试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围;若不存在，请说明理由。
分析：本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
解：（1）f'（x）=
f（x）在[-1，1]上是增函数，
f'（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，
即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立①
设φ（x）=x2-ax-2，
方法一：
①？圳φ（1）=1-a-2≤0φ（-1）=1+a-2≤0？圳-1≤a≤1，
对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0，
A={a|-1≤a≤1}。
方法二：
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立②
设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），
方法一：
②？圳g（-1）=m2-m-2≥0g（1）=m2+m-2≥0？圳m≥2或m≤-2。
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}。
方法二：
当m=0时，②显然不成立;
当m≠0时，
②？圳m>0g（-1）=m2-m-2≥0或m
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤-2}。
以上所举例子，由于强调方法的针对性，提供解答并不唯一。纵观参变量的取值范围问题探求所涉及的种种方法，几乎蕴含了中学数学的所有思想。
（作者单位：浙江省上虞城南中学）