移动技术辅助几何证明的多重表征系统设计与应用研究

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[摘 要] 本研究设计了移动技术辅助几何证明的多重表征系统，选取94名初中学生作为实验对象，分三组完成查找丢失的推理步骤、选择正确的步骤、证明树转换成形式化证明、概念测试等四项任务。通过问卷调查、访谈收集数据，采用描述性统计、单因素方差分析等方法分析三组学生对文字表征、静态图、动态图、证明树、形式证明的应用情况。结果表明：（1）不同知识经验的学生使用系统总次数有明显的差异，中级组学生使用频率最高；（2）高级组和中级组学生最喜欢证明树和形式化证明，能够熟练找到它们中对应的知识并相互转换，而低级组学生更喜欢根据动态图辅助学习；（3）学生普遍对该系统有较高的接受程度。

[关键词] 移动技术；表征；多重表征；几何证明

[中图分类号] G434 [文献标志码] A

[作者简介] 麻娟（1989―），女，内蒙古鄂尔多斯人。硕士研究生，主要从事现代远程教育研究。E-mail： 。

一、引 言

随着移动技术的蓬勃发展，手机、电脑、PDA等移动设备无处不见。移动学习已经成为一种新兴的学习方式。几何是初中数学教学的重难点，直接影响初中学生数学成绩的高低。传统几何课堂教学中，老师以口头陈述和肢体语言协同的方式完成几何教学，而学生必须认真听、看、做笔记、思考和联想已有知识才能完成学习任务，这样增加了学生的认知负荷。然而，许多研究者对几何学习者试行了不同的教学方法，发现影响学生成绩的主要原因有不完全理解问题和数学符号、直接根据视觉证明、证明时缺乏学习策略[1]等。

Behr等基于布鲁纳的表象理论，提出利用表象系统构建一个交互式模型提高学生的数学学习成绩[2]。如果学生清楚多重表征之间的交互连接结构，就会更容易解决几何问题。所以，几何教学中强调使用多种表示形式减少认知负荷。为了减少初中学生在几何证明中的认知负荷，我们基于多重表征理论设计了几何证明学习系统，探讨其对学习者的影响。

二、移动技术辅助几何证明的

多重表征系统设计

（一）多重表征系统设计理论

1. 认知负荷理论与几何学习

教育心理学家 John Sweller将认知负荷分成内在认知负荷、外在认知负荷和相关认知负荷。几何证明学习过程中，学习者知识经验的高低和学习内容各要素之间的交互复杂性直接影响学生的内在认知负荷；外部认知负荷与几何证明系统的教学设计有密切关系；相关认知负荷是优化学生认知结构，重新合成几何证明步骤简单有序的知识体系，有效降低学生记忆的认知负荷，节省有限的记忆资源。

同时，认知负荷理论对优化数学多重表征学习的教学设计有极大的启示作用。优化特点包括：（1）将教学信息打包、设计成有意义的信息包以降低内在负荷和外在负荷，并且增加有效负荷；（2）运用回答问题、暗示等教学支架策略激励学生学习动机，使学生积极主动地参与到学习过程中，促进其在多种表征间交互学习，以及它们之间的转换和转译，充分发挥多重表征的作用，产生更多的有效负荷。

2. 多重表征理论与几何学习

表征是认知心理学的核心概念。随着信息技术在教育和心理领域的发展，研究者 Hiebert 和 Carpenter在数学领域把表征分为内部表征（抽象、具体等形式）和外部表征（语言、文字、符号、图片，或实际情境等形式）[3]。Ainsworth指出，学生应该学习多种表示形式之间互译，并能构建表征与表征之间的转换[4]。学生能够通过多个角度提供的不同表述修改不正确的概念和猜想。

在教学中，构建多重表征能展示不同的教学功能，实现个性化学习。多重表征主要有三种功能：互补、限制和构建。多重表征内部是相互补充、相互支持和相互转换的。表征彼此相互制约和相互解释。总之，多重表征能促使学习者对知识进行深层次理解。

（二）多重表征系统功能模块设计

几何证明是一个逻辑性极强的过程，学生首先应该明确给出的已知条件，然后联想关键提示和适当的几何性质或定理进行演绎推理，最后组织所有的演绎步骤，并按已知条件到结论证明的顺序写出推理步骤（演绎―推理―组织―整理）。认知负荷理论的通道效应指出，同时运用多种表征呈现信息，其学习效果要高于单一通道呈现。Mayer等人的研究表明，它能丰富学生的想象力，使其思维变得更灵活。所以，一个定理必须建构文字描述和图形之间的双向连接以减少学生的认知负荷。在数学教育领域，多重表征的分类见仁见智，本文根据几何证明教学内容，将多重表征分为文字表征、静态图、动态图、形式证明和证明树。

为了减少认知负荷，使学生能够熟练地掌握和理解整个几何证明过程，基于移动技术辅助几何证明的多重表征系统包括四个模块：数据库、文字表征模块、图形表征模块、证明表征模块（如图1所示）。

图1 几何证明的多重表征系统模块

1. 数据库

数据库存储已知条件、证明结论、图形以及完整的证明过程，提供文字表征、图形表征、证明表征之间相互转化的逻辑关系连接。

2. 文字表征模块

文字表征模块是以文字的形式呈现已知条件和证明结论，辅助学生了解数学符号和语言，推理已知条件到证明结论之间的逻辑关系。如图2（a）所示，当使用者点击文字表征模块的已知条件或证明结论时，图形表征模块就会把相应的知识呈现在图形中，证明表征模块中形式证明和证明树也会对应地呈现出从已知条件到证明结论完整的证明过程。

3. 图形表征模块

图形表征模块是以静态图、动态图两种表现形式呈现已知条件。静态图如图2（b）所示，是根据文字表征的信息形成的图形。文字与图形之间的对应关系可以帮助学生提供和补充信息，逐步提高学生对几何问题的理解能力。

为了克服静态图的约束性，我们设计了如图2（c）所示的动态图，通过拖动具体对象可以把抽象的数学思想清晰地呈现出来。学生可以拖动图中的几何对象，其属性值会更清楚、直观地动态呈现出来。

4. 证明表征模块

证明表征模块包括形式证明和证明树。在学习证明时，学习者需要认识到演示图的作用，从中找出已知条件和证明结论，以及隐含的假设、特征和推理规则[5] 。形式证明如图2（d）所示，其中每一步骤的结论都是由指定条件推出，点击任何一个证明步骤，学生可以在证明树中找到对应的结点。形式证明是一个复杂的认知过程，为了降低学生理解证明的认知负荷，我们应该引导学生通过证明树建立已知条件和结论之间的逻辑关系。

证明树是从已知条件到证明结论推断的节点层次结构[6]，大部分研究者利用树形结构呈现逻辑推理过程。证明树的每个节点都代表一个证明步骤，根节点是文字表征中的证明结论，叶节点是一个给定的条件或本身隐含的条件。最后，树状结构图如图2（e）所示，呈现出从已知条件到证明结论之间的逻辑关系。只要点击证明树上的任何节点，学生可以在形式证明中看到相应的推理步骤，有助于学生理解形式证明和证明树之间的对应关系。

图2 五种表征

三、研究方法

（一）研究对象

本研究从东北师范大学附属中学初二年级377名学生中选出94名具备证明基础知识和能熟练应用智能手机的学生作为研究对象，年龄范围分布在14～16岁之间。采用 SPSS18.0 进行统计分析学生的平时数学成绩，将学生分成三组：高级组（24人）、中级组（46人）、低级组（24人）。

（二）研究课程选定

根据教学进度，本次实验选取人民教育出版社出版的《义务教育课程标准实验教科书（数学）》八年级上册第十一章《全等三角形》作为教学内容。根据学生实际情况、教师的教学经验，基于移动技术辅助几何证明的多重表征系统设计，把几何证明题存储到数据库中，并且用多种表征呈现出来。对实验内容设计成课件，配备给实验教师，并对实验教师进行理论与实验的指导。

（三）教学策略设计

在基于移动学习系统的应用研究中，为了让学生循序渐进地掌握几何知识，我们设计了四项任务（如图3所示），学生按照简单到复杂的顺序完成。任务越简单，给学生提供的信息越丰富；反之，学生需要认真推理和理性判断完成任务。以下是四项任务的具体内容。

任务一：查找丢失的推理步骤。如图3（a）所示，学生可以与文字表征、形式证明、静态图或动态几何图进行转换和转译，恢复丢失节点的证明树。通过观察这些表征之间相互对应关系，能提高学生对其他表征的理解能力。如果学生能够找到形式证明与证明树之间的对应关系，那么学生就具备恢复证明树推理步骤的能力。这个任务主要测试学生对这个证明命题的了解，是否能简单地通过其他几种表征完成简单的转换、推理。

任务二：选择正确的步骤完成形式证明。这项任务的主要目的是帮助学生阅读并理解证明树和完成形式证明。如图3（b）所示，学生通过阅读文字表征、静态图、动态图和证明树，系统以选择题的形式为学生呈现缺失步骤，学生从四个选项选择一个正确答案填写在空缺处，完成形式证明步骤。

任务三：证明树转换成形式证明。为了培养学生能够在多重表征环境中独立完成一个完整的形式证明的能力，如图3（c）所示。学生参考文字表征、静态图和动态图给出的信息，构建一个形式证明，根据证明树的步骤，复制对应的树节点内容粘贴到形式证明中。此外，为了帮助学生发现不同证明步骤顺序导致结果的不同，学生可以根据自己的逻辑推理，以拖动内容的形式重新排列证明步骤。同时，学生判断几何特征或命题时，可以根据文字表征和图形表征进行检查和判断。

任务四：概念测试。为了测试学生对基本几何概念的理解，以选择题的形式让学生根据动态图回答问题。如图3（d）所示，学生可以参考文字表征、静态图、形式证明和证明树，完成测试题 “下图所示，∠ADE和∠CBE之间的关系是什么？”如果答对，系统直接跳到下一个概念测试题，如果答题错误，系统会自动作出评价以及显示正确答案。

（四）数据收集

为了评价移动技术辅助几何证明的多重表征系统的应用效果，发现移动技术辅助几何证明的多重表征系统设计过程中存在的问题，本研究通过调查问卷和访谈两种方式收集相关数据。

1. 问卷调查

为提高调查结果的真实性，问卷包括封闭式选择题和开放式回答题。问卷分成三部分：第一部分是学生性别、组别等基本信息的调查；第二部分是完成任务过程的调查，这部分主要调查学生完成任务一、任务二、任务三、任务四中每个问题或步骤所参考、应用的表征，问卷纵向维度是任务中每个问题或步骤，横向维度是供多项选择的多种表征；第三部分是运用Davis提出的技术接受模型（TAM）中感知有用性、感知易用性、行为意向三个维度调查学生对多重表征辅助几何证明系统的接受程度，每个维度中问题的答案选项根据Likert“五点”量表（非常同意、比较同意、中立、不同意、非常不同意）进行设计。为了保证收集数据的准确度和有效性，在学生完成实验后当场发放问卷，学生根据自己真实感受填写问卷并回收，回收率为100%。

2. 访谈

为了更客观地了解学生对移动技术辅助几何证明的多重表征系统的真实感想，研究者从高级组抽取5人、中级组抽取10人、低级组抽取5人进行访谈。访谈问题有：（1）在完成任务过程中，你最不习惯应用哪种表现形式？为什么？（2）在完成任务过程中，你认为哪种表征最能辅助你学习几何证明？为什么？（3）在完成任务过程中，你感觉用移动设备学习好处是什么？弊端是什么？（4）完成任务后，让你觉得自己独立完成一个几何证明可以吗？为什么？（5）这次活动后，你对几何证明过程的认识是否有变化，具体包括哪些方面？

四、数据分析与讨论

（一）不同组学生与系统互动频率分析

三组学生完成四项任务过程中与系统交互情况见表1。高级组平均每人103.29次，中级组平均每人112.08次，低级组平均每人104.04次。由表可见，中级组与系统互动最频繁，其次是低级组和高级组。对三组的比较采用单因素方差分析，α为默认值0.05，结果显示F= 7.536，P=0.003，采用Scheffe方法，Post Hoc Tests（事后比较检验）各组间学生与该系统交互次数的差别得出：中级组学生与系统的交互次数明显高于高级组和低级组，而高级组与低级组之间没有明显差异。中级组学生比高级组和低级组学生更适合使用移动技术辅助几何证明的多重表征系统。通过访谈我们发现，中级组学生几何基础知识掌握比较好，从仔细阅读文字表征到观察静态图和动态图，再到梳理已知条件与证明结论之间的逻辑关系，最后完成形式证明的整个过程中，中级组学生收获也是最大的；相反，低级组学生由于基础知识比较薄弱，而不能熟练并充分地使用该系统。

表1 单因素方差分析学生与系统交互情况

（二）不同组学生与多种表征之间的关系分析

移动技术辅助几何证明的多重表征系统为了帮助学生减少认知负荷、构建新旧知识联系以及促进知识意义建构，培养学生多角度、多视角思考问题的能力，提高学生解决几何证明问题的能力。不同组学生选择表征的次数统计见表2，证明树被学生选择2571次（占25.6%），这说明学生最喜欢的表征是证明树；其次是形式证明2487次（占24.7%），较少的是文字表征1834次（占18.2%）、动态图1700次（占16.9%）和静态图（占14.6%）。经过访谈发现，学生审题时间较少，对已知条件和证明结论没有进行深度的逻辑推理，便快速进入证明，这也直接导致文字表征、静态图和动态图被学生选择的次数较少。相比动态图而言，静态图说服力较弱，交互次数最少。

观察表2中形式证明和证明树被不同组学生选择的次数，我们发现高级组和中级组的学生分别选择形式证明和证明树的次数基本相同。这表明，高级组和中级组的学生能找到这两种表征中对应的信息，并且能完成彼此之间相互转换和转译。但是对于低级组而言，证明树比形式证明更适合他们。访谈中，低级组学生认为证明树比形式证明能更直观地呈现几何证明逻辑推理过程，并快速地找到答案。

表2 不同组学生选择表征的次数比例

对表2中，相对证明树和形式证明而言，动态图对低级组学生的吸引力更大，而对高级组和中级组学生的吸引力不强。通过访谈发现，高级组学生能够熟练地掌握和运用形式证明和证明树。而低级组学生基础知识薄弱，不能理解证明树中逻辑推理过程和形式证明中的某些步骤，需要动态图辅助其建立已知条件与未知条件的联系，因此动态图更能吸引低级组。

（三）学生对系统的接受度

学生对多重表征系统的技术接受程度情况如表3所示。从学生对几何证明的多重表征系统的感知有用性维度看，72.4%的学生认为几何证明的多重表征系统能促进理解和推理问题，79.8%的学生认为使用几何证明的多重表征系统可以激发他们的几何学习兴趣，一半以上的学生使用本系统后，加深了几何定理的记忆，并且学习效率有所提高；从学生对几何证明的多重表征系统的感知易用性维度看，63.8%的学生认为多重表征交互界面清楚明白，可以及时找到想要的答案，71.3%的学生能够灵活、方便地运用该系统交互界面；从学生对几何证明的多重表征系统的行为意向看出，76.6%的学生期待在以后几何证明学习中能有多重表征系统的帮助。因此，移动技术辅助几何证明的多重表征系统简单明了的设计风格，使学生能够熟练地运用它；同时，对学生学习几何证明产生了积极的促进作用。

表3 多重表征系统的技术接受程度情况

五、结 束 语

移动学习的应用已在各个领域全面展开，并且随时随地、无时无刻地伴随在我们的身边。本文成功地设计并应用了几何证明的多重表征移动学习系统，在初中几何证明教学实验中取得了良好的结果。多重表征系统较高的技术接受程度，也促使大部分学生期待在以后的学习中能得到多重表征系统的帮助。不同知识经验的学生喜欢不同表征形式，由于表征形式的多样性有时也会给学生增加认知负荷，所以为了考虑学生的个别差异性，我们会进一步优化几何证明的多重表征系统，尽可能地满足不同知识经验者的需求。