为突出过程而对函数零点存在定理教学案例的改进

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摘 要：高中数学课程强调对数学本质的认识，倡导在教学中突出“过程与方法”的新教育理念. 本文针对深圳一所高中在实际教学中关于零点存在定理的教学案例，从学生思考的角度出发，利用学生的认知规律突出了学生的发现过程，从而给出了适当的分析、点评以及相关的改进建议. 若是从教师的角度来看，这也启示我们要学会把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态的本领，尽可能使高中数学课堂返璞归真.

关键词：零点存在定理；过程；数学案例；教育理念

[?] 引言

函数与方程是中学数学的重点内容，因为它既是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学连接的纽带，因此，作为“函数与方程”这章的第一节内容，零点存在定理的教学逐渐成为公开课教学的热点内容之一.

人教A版《普通高中课程标准实验教科书 数学1（必修）》中，关于零点存在定理的叙述如下：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）・f（b）

[?] 教学片段

深圳市某重点中学的H教师设计了一份针对零点存在定理的教案，从教案及教学过程来看，该教师也很重视对学生数学素养的培养，注重学生在探究新知的发现过程.以下为部分教学片段.

片段一：问题情境设疑

最后观察一组特殊函数的图象：（1）反比例函数，在区间[a，b]上不连续且在（a，b）内没有零点的分段函数；（2）在区间[a，b]上连续但在（a，b）内有多个零点的函数；（3）在区间[a，b]上单调递增或单调递减，且在（a，b）内只有一个零点的函数. （图象略）

片段三：定理的概括形成

学生经历了直观感知、观察发现、归纳类比、数形结合等思维活动之后，H教师要求学生填写以下结论，即零点存在定理：

如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）・f（b）

片段四：例题分析示例

例 求函数f（x）=lnx+2x-6的零点的个数.

学生A：老师，这个函数图象怎么作啊？

H教师：我来给大家展示一下这个函数的图象（显示于幻灯片上），这是利用几何画板作出的图象.

学生A：从图象上能看出来，答案是1.

H教师：对！那么，像这种图象较难作出的函数，我们还可以用什么方法来判断它零点的个数呢？

学生B：将函数f（x）=lnx+2x-6化为方程lnx=-2x+6，再令f（x）=lnx，g（x）= -2x+6，这样，就可以通过f（x）和g（x）的图象，观察两个函数的交点个数.

H教师：说得对！但这是从“形”的角度来看的，若是从“数”的角度来看，行不行呢？

学生C：可以一步一步算.

H教师：怎么算？

学生C：把2代进去，计算f（2），再把3代进去，计算f（3），然后验证f（2）・f（3）

H教师：有几个？怎么判断？

学生D：结合单调性.

H教师：如何快速判断这个函数的单调性？

学生D：分两部分判断，lnx单调递增，2x-6单调递增，因此，相加仍然为单调递增.

H教师：所以，得到的结果是什么？

学生D：有一个零点.

H教师：很好，现在我们回过头来再看定理，并辨析“在什么条件下，函数y=f（x）在区间（a，b）内可存在唯一的零点”，你们想到了什么？

学生：函数的单调性.

H教师：来，请给出准确的表达.

学生：函数在区间（a，b）上单调.

[?] 案例点评与改进

高中数学课程标准极力倡导教师在数学课堂上要尽可能体现“过程与方法”的新数学教育理念，因此我们在这一基础上，对以上案例给予分析和点评，并提出几点改进意见：

第一，H教师的课题引入设计虽然也符合教材思路，即采取了“从特殊到一般”的思维过程，但是，如果将教师在片段一中把最初抛给学生的思考问题与要求学生阅读引例的顺序调换，这将更好地呈现 “从特殊到一般”的学习规律，并符合学生的认知特点，而且效果也将会更好. 关于这一点，只是按照H教师的设计思路所做的微型修改.

在课题引入的方式方面，我们还可以给予学生更多的想象空间，从而更有利于培养学生的数学思维能力. 例如，首先，让学生画出函数y=x2-2x-3的图象，再针对“画图过程中觉得哪些点很重要”的问题，让学生发表自己的看法并给出理由. 然后，在明确了该函数零点概念的基础上，将其推广到一般情形y=f（x），并通过类比得到一般零点的概念. 这样的教学过程既简单又省时，且能充分发挥学生的想象力和思维的主动性，并使学生的学习过程成为在教师引导下“再创造”的过程，这也更符合新课程教与学的理念.

第二，片段二在零点存在性探究过程的最后环节，教师将几种特殊图象直接展示出来，这不但忽略了对学生主动思考能力的培养，还可能会导致学生接受新概念过程的“矛盾冲突”. 由于本节内容属于概念课，所以在形成概念之前，应当尽量避免出现“冲突”，当然，如果教学中出现了“冲突”，也不应刻意回避，而需要进行适当的辨析来化解“冲突”. 因此教师可以考虑，在形成概念之后的定理辨析过程中让学生通过举反例来加深对定理的认识.

鉴于零点存在定理是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，所以在对该定理进行辨析时，应当让学生寻找自己熟知的函数特例，利用具体的图象来进行说明. 认知心理学认为，反例为辨析概念提供了最好的载体. 通过举反例，有利于促进数学新概念、新定理及新理论的形成和发展. 只有让学生自己找到切实依据，才能帮助他们发现定理的逆命题不一定成立.

第三，片段三在构建定理的概括过程中，教师设置了两个填空，这是对学生抽象概括能力的一种考查，但是，如何使引入条件使f（a）・f（b）

第四，例题讲解中的画图问题，教师不应忽略学生最常用的描点法. 借助现代信息技术固然方便、快捷，但是，如果让学生通过对函数进行单调性的分析，并运用自己熟知的描点画图法，同样可以达到教学目的. 所以，在教学过程中，如果先让学生分析函数f（x）=lnx+2x-6的单调性，再用描点法画出函数图象趋势并得出结果，最后给学生展示几何画板所作的图象，在观察图象的基础上获得答案. 这样，既温习了函数的单调性与中学阶段重要的描点法，又让学生自己体验了获取成功的喜悦，与此同时，在两种方法的比较中还能顺便让学生感受信息技术的强大魅力.

第五，在片段四的师生对话中，引出并解决了关于零点唯一性问题的定理辨析. 通过运用函数与方程的关系以及数形结合等思想，学生一般能理解定理中的“存在性”问题. 而人为“制造”出的“唯一性”问题，不是本节课的必学内容，但H教师却为此设计下了一番功夫，也花了较长的时间. 虽说内容与主题相关，教学效果也不错，但若是考虑到前四点改进建议的实施要花更多课时的话，则应注意：怎样才能保证不让教学目标以外的内容喧宾夺主.

[?] 结语

波利亚说：“学习任何东西的最好途径是自己去发现”. 教师可把握学生“主动学习”这一原则，在给定的条件下，应让学生尽可能多地靠他们自己去发现. 探究式教学让学生真正参与概念的形成过程，经历定理的发现、概括和归纳过程，由此领悟知识的本质特征，这都有利于培养学生的数学思维能力.教师如何做到“教会思考”？从H教师的教学案例以及上述改进建议来看，结合学生的认知规律和水平、创造丰富的提问方式、留给学生充分而恰当的想象空间、让学生自主探究等，这或许是好的教学方式之一. 在新课程要求转变教与学的方式的背景下，教师应尽可能使高中数学课堂返璞归真，注重过程，注重培养学生学会思考的学习习惯.