椭圆及其标准方程

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中图分类号：G633.6

【案例背景分析】

《椭圆及其标准方程》一课是新课标中职人教版的内容，是在学生已经初步认识曲线与方程、直线的方程、圆的方程的基础上学习的。

椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程。椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用.先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然.学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的.

教材从学生熟悉的圆的定义出发，通过实际操作活动：准备2颗图钉及一根定长绳子做圆和做椭圆，对比圆的定义及利用定义作图过程，给椭圆下定义求出其标准方程。让学生应用所学的知识去解决学生身边的、生活中的问题，体会数学与生活的密切联系，产生学习数学的兴趣，感受成功的喜悦。安排此课，给学生们创设一种自主探究的学习氛围，让学生在探究问题――探索问题――发现问题――解决问题。

【案例描述】

1、 创设情景，引出课题――椭圆定义及其标准方程。

问：我们以前学习过圆，请同学们回忆一下圆的定义。

答：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹。

问：能否利用手头的工具和圆的定义画圆？（课前要求学生每人准备一块硬纸板，两颗图钉及一根定长绳子）谁上黑板来演示呢？

问：现在把这根绳子的两端分别系在两颗图钉上，并分开固定在两个点F1、F2上，并保持拉紧状态移动铅笔，请你们再画一画会是什么样的曲线？

答：椭圆。

（黑板上写出课题：椭圆定义及其标准方程）

问：大家看，椭圆是一个很美的图形，生活中你在哪里见过椭圆的这种曲线，能否举例呢？

答：地球运动轨迹，……等等。

2、 通过实验，自主探究，椭圆的定义以及椭圆的标准方程。

问：刚才大家对椭圆有了形象上的认识，我们不仅作出了椭圆这个曲线，而且还在生活实践中找到它的应用，下面我们能否结合圆的定义以及圆的画法给出它的定义呢？

答：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的点的轨迹。

（教师在黑板上写出学生总结的椭圆定义，强调常数必须大于两定点的距离。）

问：已经知道椭圆的定义，下面我们要来研究椭圆的标准方程，求曲线的方程有哪些基本步骤？

答：建、设、限、代、化。

问：“建”即建立直角坐标系。如何建立直角坐标系？你认为如何建立坐标系比较合适？

观察椭圆图形的特点，椭圆是不是对称图形？

答：是。

问：“化”，如何化简两个代根号的式子？

①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项.化简、整理得到

这种形式我们认为还不够简洁，因为2a>2c，即a>c，所以 >0即 是一个正常数，如果把 表示成一个字母的形式，那么方程就简洁多了，那么你认为如何设这个正常数更合理呢？（改变动点P（x，y）的位置观察 在图中的几何意义）

我们可以设 （b>0）

师板书：椭圆的标准方程：焦点在x轴上：

问：焦点在y轴上的椭圆标准方程是什么？你能类比得到吗？

答：x与y互换即得。焦点在y轴：

问题8：焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆标准方程有何共同点和不同点？

学生总结规律：共同点：左边是平方和，右边是1。

不同点：焦点在x轴的椭圆― x项分母较大

焦点在y轴的椭圆― y项分母较大

练习巩固（课件出示，生口答）

（一）以下关于曲线的方程表示椭圆吗？

（二）写出下列椭圆方程中a，b，c 的值，并指出焦点所在位置

（三）根据下列条件写出椭圆方程

（1）a=5，c=3，焦点在x轴的椭圆

（2）b=1，两个焦点的坐标分别为（0，2）、（0，-2） 的椭圆

（3）焦距为6，且椭圆上一点到两焦点距离的和是10

师：由此题可得出规律，应先定位（即确定焦点位置），再定量。

本节小结：

问：本节课都学到了什么？

生先答，师再补充：1个定义――椭圆定义

2个公式――焦点在x轴上椭圆标准方程焦点在y轴上椭圆标准方程

结束语：今天我们知道了椭圆的定义，椭圆的两种标准方程，c与焦距有关a，b与椭圆有什么关系呢？椭圆有哪些性质呢，下节课研究。

【案例反思】

1、通过动手画椭圆，感受椭圆形成过程，从而找到椭圆形成的本质特征，并进一步培养了学生动手操作能力和小组合作意识。

2、本节课突破了为什么要把“焦距”和“常数”设为2c和2a？而不设为c和a？以及为什么令a2-c2=b2和为什么要规定”b>0，通过图形展示，增加直观性，更好的帮助学生理解了a，b，c的几何含义以及上述设法的合理性。

3、通过动笔推导，化简两个根号，提高学生了运算能力。

4、本节课，学生在教师和同伴的帮助下，亲身经历了“问题――探索――发现――解决问题”的多次循环的探究过程，实现“为什么”、“怎么办”的思维启迪，从而达到开发智力、发展能力的目的。所以，在我们的日常教学中，不仅要培养学生解决问题的能力，更要注意培养学生发现问题和提出问题的能力。